В то же время Кантор познакомился со своей будущей супругой Валли Гутман. В 1872 г. он стал экстраординарным профессором в Галле, весной 1874 г. состоялась помолвка, а летом свадьба. Во время свадебного путешествия молодожены встретились в Интерлакене с Дедекиндом. У Кантора было четыре дочери и два сына; никто из детей не проявил особой математической одаренности.
Семидесятые года принесли Кантору и различные внешние успехи. Уже в 1869 г. он стал действительным членом Общества Естествоиспытателей в Галле; особенно же следует отметить избрание в члены-корреспонденты Геттингенского Научного Общества. По-видимому, ни одна другая немецкая академия и ни один университет, кроме Галле, вообще не почтили публично его заслуги. Далее, в 1878 г. он отклонил приглашение в Мюнстерскую Академию, а в 1879 г. был назначен ординарным профессором в Галле.
Опубликованная в 1874 г. работа [10] представляет собой, наряду со средней частью статьи [5], публикацию Кантора, открывающую теорию множеств; в ней делается решительный шаг к строгому разграничению трансфинитного, особенно в отношении мощности. В наивном понятии «бесконечного» исчезали все различия, и сам Кантор вначале предполагал еще континуум счетным; в этой же статье за теоремой о счетности множества алгебраических чисел следует доказательство, что множество всех действительных чисел уже несчетно. Именно, для каждой последовательности действительных чисел Кантор строит с помощью принципа вложенных отрезков не принадлежащее ей число. Из сопоставления обоих результатов вытекает существование бесконечного множества трансцендентных чисел в любом интервале. Естественно было бы искать еще более высокие трансфинитные мощности, перейдя от одномерного континуума к многомерным. Как показывает корреспонденция Кантора с Дедекиндом, эта мысль занимала исследователя уже летом 1874 г. Насколько нужен был новый подход, чтобы вообще усмотреть здесь какую-либо проблему, видно из письма Кантора: он рассказывает, как один его друг в Берлине объявил идею об отобразимости линейного континуума на плоский «заведомо абсурдной, поскольку само собой разумеется, что две независимых переменных не сводятся к одной»; подобную же отповедь получил он позже при посещении Геттингена по случаю юбилея Гаусса в 1877 г. В письме от 20 июня 1877 г. он сообщает Дедекинду, после многолетних усилий, свою попытку построить отображение одномерного континуума на многомерный, и просит друга проверить доказательство; результат оказался для него самого в высшей степени неожиданным : “je le vois, mais je ne le crois pas” («вижу, но не верю») и, как он думал, колеблющим понятие размеренность, т. е. возможность охарактеризовать размерность числом независимых координат. В ответе Дедекинда указывается пробел в доказательстве (позже устраненный с помощью несложного приема Юлиусом Кенигом); это побудило Кантора перейти от первоначально использованных им разложений в десятичные дроби к представлениям цепными дробями. Далее, Дедекинд, защищая понятие размерности, подчеркивает значение требования, чтобы соответствие было непрерывным.
