. Он стремится обобщить этот результат, отказываясь от каких-либо предположений о поведении ряда на некотором исключительном множестве; это вынуждает его изложить в работе [5] краткий набросок идей, «могущих быть полезными для выяснения отношений, возникающих во всех случаях, когда заданы числовые величины в конечном или бесконечном числе Здесь для точечных множеств вводятся предельные точки и производные (конечного порядка). С этой целью Кантор, с одной стороны, развивает свою теорию иррациональных чисел
[6], вслед за теорией множеств обессмертившую его имя, где иррациональные числа рассматриваются как фундаментальные ряды. С другой стороны, для перехода к геометрии он вводит особую аксиому (аксиому Кантора), одновременно и независимо появившуюся в несколько иной формулировке в книге Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа».
2. Период наивысшей творческой активности (1871−1884)
С только что упомянутой работой [5] жизнь Кантора начинает выходить за рамки нормального развития талантливого ученого, в которые она вмещалась до того.
На второй период, примерно с 1871 по 1884 год, приходится величайшее напряжение сил гениального исследователя, увенчавшееся построением теории множеств.
1872−74 годы принесли с собой два значительных события в личной жизни Кантора. Во время одной из поездок в Швейцарию, нередких в его молодости, он в 1872 г. совершенно случайно знакомится в Герсау с Дедекиндом. Это знакомство привело, наряду с частыми личными встречами, впоследствии происходившими обычно в Гарцбурге, также к переписке, от которой сохранилось 38 писем за годы 1873−79 и 1899. Хотя математическое содержание этой переписки ограничено, они весьма интересны как отражение способа работы и настроения Кантора в то время, а равным образом противоположности характеров этих людей, связанных продолжительной дружбой и высоко ценивших друг друга. Пользуясь терминами Оствальда, можно назвать являющегося в этих письмах Кантopa «романтиком», в противоположность «классику» Дедекинду. Это различие проявляется также в темпе писем Кантора, которые в периоды научной бури и натиска буквально перегоняют друг друга, в то время как ответы Дедекинда отличаются неизменной пунктуальностью. Следует отметить также весьма значительную в начале переписки разницу в возрасте (Дедекинд был на 14 лет старше). В целом, Кантор играет в этой переписке роль спрашивающего и берущего. Уже в одном из первых писем он выражает свою потребность обсуждать с Дедекиндом научные вопросы и ближе познакомиться с ним лично; и в дальнейшем мы постоянно встречаем почтительную благодарность за то, что дает ему это знакомство, а также за «вдохновляющее и чрезвычайно поучительное воздействие» на него «классических трудов» Дедекинда (письмо от 31 августа 1899 г.). Впрочем, глубокое влияние Дедекинда, с его абстрактным, предпочтительно аналитическим подходом, стремящимся к завершенной систематике, еще сильнее сказывается косвенным образом − в построении позднейших публикаций Кантopa по теории множеств, сравнительно с конструктивным стилем молодого Кантора, продвигавшегося вперед отдельными бросками. Перемена эта во многом соответствует весьма выраженной противоположности тенденций в современных исследованиях по основаниям математики.
