Можно ли, зная, какие именно четыре последовательных числа Фибоначчи положены в основу варианта, предсказать, будет ли площадь прямоугольника больше или меньше площади квадрата? Оказывается, можно. Парадокс наглядно демонстрирует одно из фундаментальных свойств чисел Фибоначчи: квадрат любого числа Фибоначчи равен произведению двух соседних (предшествующего и последующего) чисел плюс или минус 1, то есть
F>2>n = F>n-1F>n+1 ± 1
Левая часть этого равенства задает площадь квадрата со стороной F>n, а правая — уменьшенную или увеличенную на 1 площадь прямоугольника со сторонами F>n-1 и F>n+1. Знаки «плюс» и «минус» чередуются при переходе от одного числа Фибоначчи к следующему. Квадраты чисел Фибоначчи с нечетными номерами (например, 2, 5, 13) на 1 больше произведения двух соседних чисел с четными номерами. Квадраты чисел Фибоначчи с четными номерами (например, 3, 8, 21) на 1 меньше произведения двух соседних чисел с нечетными номерами. Зная, это, вы легко можете предсказать, будет ли прямоугольник, составленный из частей квадрата, больше или меньше квадрата.
Последовательность «настоящих» чисел Фибоначчи начинается с двух единиц, но последовательность «обобщенных» чисел Фибоначчи может начинаться с любых двух чисел. Вы можете рассмотреть варианты парадокса, основанные на обобщенных числах Фибоначчи. Например, последовательность 2, 4, 6, 10, 16, 26… порождает прямоугольники, площадь которых отличается то в одну, то в другую сторону от площади квадрата на 4. Последовательность 3, 4, 7, 11, 18… порождает прямоугольники, площадь которых отличается то в одну, то в другую сторону рт площади квадрата на 5.
Пусть a, b и с — любые три последовательных обобщенных числа Фибоначчи, а х — разность площадей прямоугольника и квадрата (избыток или недостаток). Тогда справедливы две формулы:
а + b = c
Ь>2 = ас ± х.
Подставив вместо х любой избыток или недостаток площади, а вместо Ь — любую длину стороны квадрата и решив систему двух выписанных выше уравнений, мы найдем соответствующие значения а и с (хотя они не обязательно получатся рациональными).
А нельзя ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы из них можно было составить прямоугольник, площадь которого была бы равна площади квадрата?
Чтобы ответить на этот вопрос, положим во втором из уравнений нашей системы х = 0 и выразим b через с. Единственное положительное решений (отрицательное мы отбрасываем, так как Ь — длина отрезка) имеет вид
