А ну-ка, догадайся! | страница 46
Величина (1 + 5½)/2 — знаменитое золотое сечение, или φ. Это иррациональное число, равное 1,618033… Иначе говоря, числа φ
1, φ, φ>2, φ>3, φ>4…
образуют единственную последовательность Фибоначчи, обладающую тем свойством, что квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению двух соседних членов.
После некоторых преобразований можно показать, что последовательность Фибоначчи эквивалентна последовательности
1, φ, φ + 1, 2φ+1, Зф + 2… (*)
и ее члены обладают отличительным признаком чисел Фибоначчи: каждый из них (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих.
Только разрезая квадрат на части, длины которых совпадают с четверками последовательных чисел Фибоначчи из (*), мы получим вариант парадокса с равновеликими прямоугольником и квадратом. Более подробно о золотом сечении и о его связи с парадоксом о разрезании квадрата и превращении его в прямоугольник см. в главе 23 («Число φ — золотое сечение») моей книги «Математические головоломки и развлечения».[9]
>Через несколько месяцев мистер Рэнди снова пришел к Омару. На этот раз он принес с собой ковер размером 12х12 дм>2.
>М-р Рэнди. Мой дорогой Омар!
>Случилась беда: электрообогреватель опрокинулся на ковер и прожег в нем дырку. Разрезав ковер на части и сшив их по-другому, вы сможете легко скрыть этот изъян.
>Оставив сомнения, Омар последовал инструкциям мистера Рэнди.
>Сшив части прежнего ковра, он получил ковер размером 12х12 дм>2. Дыра бесследно исчезла!
>Омар. Как вам удалось это сделать, мистер Рэнди? Откуда вы взяли недостававший квадратный дециметр, чтобы заделать дыру?
Могут ли два одинаковых квадрата иметь различную площадь? Во втором парадоксе с коврами мистера Рэнди недостающая площадь имеет правдоподобное объяснение: это дырка, прожженная в ковре.
В отличие от предыдущего парадокса все части примыкают без зазоров, и ни одна часть не перекрывает другую. Куда же исчезает недостающий квадрат со стороной 1?
Чтобы ответить на этот вопрос, приготовим два экземпляра квадрата без дыры. Чем больше получатся квадраты, тем лучше. Один квадрат аккуратно разрежем на части по выкройке, составим из них квадрат с дырой и наложим на него второй квадрат.
Если верхний край и боковые стороны обоих квадратов совпадают, то вы легко заметите, что второй «квадрат» — вовсе не квадрат, а прямоугольник, который выше квадрата на 1/12 дм. Площадь полоски 12х(1/12) дм>2, выступающей за пределы квадрата, равна площади «бесследно» исчезнувшей дыры.
