Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 79

В обычных эргодических теоремах рассматривается ансамбль Е, меру которого можно принять за единицу, и этот ансамбль преобразуется в себя сохраняющим меру преобразованием Т или группой сохраняющих меру преобразований Т^>λ, где —∞<λ<∞ и

Эргодическая теория имеет дело с комплексным функциями f(х) элементов х из Е. Во всех случаях f(х) считается измеримой по х, а если мы рассматриваем непрерывную группу преобразований, то f(Т^>λх) считается измеримой по х и λ вместе.

В эргодической теореме Купмена — фон Неймана о сходимости в среднем функция f(х) считается принадлежащей к классу L^>2; это значит, что

Теорема утверждает, что [c.111]

или соответственно

сходится в среднем к пределу f^>*(х) при N→∞ или соответственно при А→∞ в том смысле, что

В эргодической теореме Биркгоффа о сходимости «почти всюду» функция f(х) считается принадлежащей к классу L; это значит, что

Функции f_>N(х) и f_>A(х) определяются, как в (2.16) и (2.17). Теорема утверждает[135], что для всех значений х, за исключением множества нулевой меры, существуют пределы

и

Особенно интересен так называемый эргодический, или метрически транзитивный, случай, когда преобразование Т или множество преобразований Т^>λ не оставляет инвариантным ни одно множество точек х с мерой, отличной от 1 и 0. В таком случае множество значений (для обеих эргодических теорем), на которых f^>*(х) пробегает заданный интервал, почти всегда есть 1 или 0. Это возможно только при том условии, что [c.112]f^>*(х) почти всегда постоянна. Тогда f^>*(х) почти всегда равна

Таким образом, в теореме Купмена мы получаем предел в среднем[136]

а в теореме Биркгоффа

за исключением множества значений х меры (или вероятности) 0. Аналогичные результаты имеют место в непрерывном случае. Это служит достаточным обоснованием производимой Гиббсом замены фазовых и временных средних.

Для случая, когда преобразование Т или группа преобразований Т^>λ не являются эргодическими, фон Нейман показал, что при очень общих условиях они могут быть сведены к эргодическим составляющим. Это значит, что, отбросив множество значений х нулевой меры, Е можно разбить на конечное или счетное множество классов Е_>n и континуум классов Е(y), таких, что на каждом Е_>n и Е(y) устанавливается мера, инвариантная при