Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 78

В любой группе характеров числа α(T), соответствующие данному характеру f, распределены таким образом, [c.109] что это распределение не нарушается при умножении их всех на α(S), каков бы ни был элемент S исходной группы. Иначе говоря, если есть какое-то разумное основание взять среднее от этих чисел, не затрагиваемое, когда группа преобразуется умножением каждого ее преобразования на одно фиксированное, то либо α(Т) тождественно равно 1, либо наше среднее инвариантно относительно умножения на числа, отличные от 1, и потому должно равняться 0. Отсюда можно заключить, что среднее произведение характера на величину, с ним сопряженную (которая также является характером), будет равно 1, а среднее произведение характера на величину, сопряженную с другим характером, будет равно 0. Другими словами, если h(x) представлено как в (2.04), то

Для группы поворотов по окружности это дает нам сразу, что если

то

Для сдвигов же по бесконечной прямой результат тесно связан с тем обстоятельством, что если в некотором подходящем смысле

то в определенном смысле

Эти результаты изложены здесь очень грубо, без точной формулировки условий их справедливости. Более строгое изложение теории читатель может найти в работе, указанной в примечании[133]. [c.110]

Наряду с теорией линейных инвариантов группы, существует также общая теория ее метрических инвариантов. Последние представляют собой системы меры Лебега, не претерпевающие изменений, когда объекты, преобразуемые группой, переставляются операторами группы. В этой связи следует упомянуть интересную теорию групповой меры, которую дал Гаар[134]. Как мы видели, всякая группа сама есть собрание объектов, которые переставляются между собой при умножении на операторы данной группы. Поэтому она может иметь инвариантную меру. Гаар доказал, что некоторый довольно широкий класс групп имеет однозначно определенную инвариантную меру, задаваемую строением самой группы.

Наиболее важное применение теории метрических инвариантов группы преобразований состоит в обосновании взаимной заменимости фазовых и временных средних, которую, как мы видели выше, Гиббс тщетно пытался доказать. Это доказательство было выполнено на основе так называемой эргодической теории.