Пространство. Время. Движение (2) | страница 21
В этой таблице собраны последовательные произведения числа 10>i>/8. Видно, что x уменьшается, проходит через нуль, достигает почти -1 (в промежутке между р=10 и р=11 величина точно равна -1) и возвращается назад. Точно так же величина у ходит взад-вперед.
Точки на фиг. 22.1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за изменением х и у. Видно, что числа х и у осциллируют; 10>is>повторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит.
Таблица 22.4 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЛА 10>i>/8
Ведь iв четвертой степени — это i>2в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если 10>0,6>8>i равно i, то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив 10>2>,>72>i, мы получим +1. Если нужно получить, например, 10>3>,>00>i, то нужно умножить 10>2>,>72>i на 10>0,2>8>i. Иначе говоря, функция 10>is повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим 2,3025s через tи напишем 10>is=e>it, где t— действительное число. Известно, что e>it=x+iy, и мы запишем это число в виде
e>it=cost+isint. (22.8)
Каковы свойства алгебраического косинуса costи алгебраического синуса sint? Прежде всего x>2+y>2=1; это мы уже доказали, и это верно для любого основания, будь то 10 или е. Следовательно, cos>2t+sin>2t=l. Мы знаем, что e>it=1+itдля малых t; значит, если t— близкое к нулю число, то costблизок к единице, a sintблизок к t. Продолжая дальше, мы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функций, получающихся в результате возведения в мнимую степень, в точности совпадают со свойствами тригонометрического синуса и тригонометрического косинуса.
А как обстоит дело с периодом? Давайте найдем его. В какую степень надо возвести е, чтобы получить i? Иными словами, чему равен логарифм iпо основанию е? Мы вычислили уже логарифм iпо основанию 10; он равен 0,68226i; чтобы перейти к основанию е, мы умножим это число на 2,3025 и получим 1,5709. Это число можно назвать «алгебраическим p/2». Но поглядите-ка, оно отличается от настоящего p/2 всего лишь последним десятичным знаком, и это просто-напросто следствие наших приближений при вычислениях! Таким образом, чисто алгебраически возникли две новые функции — синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их следам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии. Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией.
