Лекции по физике 5a | страница 51

§ 5. Энергия в электростатическом поле

Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатичес­кой энергии. Все они могут быть получены из основного соот­ношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов. Прежде всего, мы хотим написать выраже­ние для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема dVсодержит в себе элемент заряда pdV. Тогда уравнение (8.3) запишется так:

(8.27)

Обратите внимание на появление множителя ^>1/_>2. Он возник из-за того, что в двойном интеграле по dV_>1и по dV_>2каждая пара элементов заряда считалась дважды. (Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте, что интеграл по dV_>2 в (8.27) — это просто потенциал в точке (1), т. е.

так что (8.27) можно записать в виде

А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто

(8.28)

Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энер­гия заряда rdVравна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от jrdV. Но, кроме этого, есть множитель ^>1/_>2. Он все еще необходим, по­тому что энергии считаются дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке. Или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать

или

Обратите внимание, что это же можно написать и так:

(8.29)

Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29). Вот зачем нужен множитель ^>1/_>2.

Интересен и такой вопрос: где размещается электростатичес­кая энергия? Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно?

Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодей­ствующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энер­гией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия со­средоточена на этом заряде, или на том, или на обоих сразу, или между ними? Все эти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммар­ная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо.

Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда со­средоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть. Тогда мы могли бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изме­нение можно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утвержде­ние о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно вы­полняться, если какая-то энергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в промежутке между этими местами ничего не случится (ничего — это значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назо­вем это расширение принципом