Лекции по физике 5a | страница 37

Чтобы мысль была яснее, рассмотрим только одномерный случай. Представим себе коллоидную частицу в виде очень боль­шого (по сравнению с атомом!) шара; тогда мы можем малую часть ее поверхности считать плоскостью. (Вообще, пытаясь понять новое явление, лучше разобраться в нем на чрезвычайно упрощенной модели; и только потом, поняв суть проблемы, стоит браться за более точные расчеты.)

Предположим, что распределение ионов создает плотность за­рядов р(х) и электрический потенциал j, связанные электро­статическим законом С^>2j =-r/e_>0, или в одномерном случае законом

(7.28)

Как бы распределились ионы в таком поле, если бы потен­циал подчинялся этому уравнению? Узнать это можно при помощи принципов статистической механики. Вопрос в том, как определить j, чтобы вытекающая из статистической меха­ники плотность заряда тоже удовлетворяла бы условию (7.28)?

Согласно статистической механике (см. вып. 4, гл. 40), час­тицы, пребывая в тепловом равновесии в поле сил, распределя­ются так, что плотность nчастиц с координатой xдается фор­мулой

(7.29)

где U(x) — потенциальная энергия, k— постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.

Предположим, что у всех ионов один и тот же электрический заряд, положительный или отрицательный. На расстоянии х от поверхности коллоидной частицы положительный ион будет обладать потенциальной энергией

Плотность положительных ионов тогда равна

а плотность отрицательных

Суммарная плотность заряда

или

(7.30)

Подставляя в (7.28), увидим, что потенциал j должен удов­летворять уравнению

(7.31)

Это уравнение решается в общем виде [помножьте обе его части на 2(dj/dx)и проинтегрируйте по х],но, продолжая упрощать задачу, мы ограничимся здесь только предельным случаем малых потенциалов или высоких температур Т. Малость j отвечает разбавленному раствору. Показатель экспоненты тогда мал, и можно взять

(7.32)

Уравнение (7.31) дает

(7.33)

Заметьте, что теперь в правой части стоит знак плюс (ре­шение не колебательное, а экспоненциальное).

Фиг. 7.7. Изменение по­тенциала у поверхности коллоидной частицы. D— дебаевская длина.

Общее решение (7.33) имеет вид

(7.34)

где

(7.35)

Постоянные А и В определяются из добавочных условий. В на­шем случае В должно быть нулем, иначе потенциал для боль­ших х обратится в бесконечность. Итак,

(7.36)

где А — потенциал при x=0 на поверхности коллоидной час­тицы.

Потенциал убывает в eраз при удалении на D(фиг. 7.7). Число Dназывается дебаевской длиной;