Лекции по физике 7 | страница 54

(33.45). [Конечно, мы могли бы определить углы q_>i. и q_>t из

(33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами k_>x или k"_>x..]

До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех w и k, мы можем сократить экспоненциаль­ный множитель в (33.38) и получить

е_>0+е'_>0=е"_>0. (33.48)

Но поскольку мы не знаем ни Е'_>0, ни Е"_>9, то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Е_>хи Е_>yне помогут, ибо все Е имеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

B_>x2 =B_>x1. Согласно условиям (33.35)—(33.37),

Вспоминая, что w" =w'= w и k"_>y=k'_>y=k_>y, получаем

е_>0+е'_>0 =е"_>0.

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.

Можно было бы обратиться к (33.30) B_>z>2=В_>z>1, но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие — (33.31) В_>у>2=В_>у1. Для наших трех волн

Подставляя вместо E_>i,E_>rи E_>tволновые выражения при x=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:

Учитывая равенство всех w и k_>y, снова приходим к условию k_>xE_>0 + k'_>xE'_>0=k"_>xE"_>0. (33.50)

Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно E'_>0 и Е"_>0. Вспоминая, что k’_>x=-k_>x, получаем

Вместе с (33.45) или (33.46) для k”_>xэти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.

Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллель­ным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как x-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.)

Фиг. 33.7. Поляризации волн, когда поле Е в падающей волне па­раллельно плоскости падения.

При этом мы найдем

и

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отражен­ной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только