Лекции по физике 8a | страница 78

Таблица 10.4 · АМПЛИТУДЫ для СПИНА ^>1/_>2

В наших новых обозначениях (10.44) просто превращается в

Это как раз амплитуда <+T|+S> для спина 1. Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система коор­динат, т. е. «штрихованный» прибор Т, повернута вокруг вашей оси z на угол j; тогда из табл. 4.2 получается

Значит, из (10.44) амплитуда для спина 1 окажется равной

Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше.

Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и электрон в нашей системе (системе S) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе Т)они будут в одном из четырех возможных состояний,

равны

Затем мы можем записать состояние |+ +> в виде следующей линейной комбинации:

Но теперь мы замечаем, что |+ '+'> — это состояние |+Т>, что {| + '-'>+|-'+'>} — это как раз Ц2, умноженный на состояние |0T> [см. (10.41)], и что | - '-'> = |-Т>. Иными словами, (10.47) переписывается в виде

Точно так же легко показать, что

С |0S> дело обстоит чуть посложнее, потому что

Но каждое из состояний | + - > и | - +> можно выразить через «штрихованные» состояния и подставить в сумму:

Умножая сумму (10.50) и (10.51) на 1/Ц2, получаем

Отсюда следует

Теперь у нас есть все необходимые амплитуды. Коэффи­циенты в (10.48), (10.49) и (10.52) —это матричные элементы

<jТ|iS>. Сведем их в одну матрицу:

Мы выразили преобразование спина 1 через амплитуды а, b, с и d преобразования спина ^>1/_>2.

Если, например, система Т повернута по отношению к S на угол а вокруг оси у (см. фиг. 3.6, стр. 64), то амплитуды в табл. 10.4—это просто матричные элементы R_>y (a) в табл. 4.2:

Подставив их в (10.53), получим формулы (3.38), которые приведены на стр. 80 без доказательства.

Но что же случилось с состоянием |IV)?! Это система со спи­ном нуль; значит, у нее есть только одно состояние — оно во всех системах координат одно и то же. Можно проверить, что все так и выходит, если взять разность (10.50) и (10.51); получим

Но (ad-bc) — это определитель матрицы для спина ^>1/_>2, он просто равен единице. Получается

|IV'>=|IV> при любой относительной ориентации двух систем координат.

* Тем, кто перескочил через гл. 4, придется пропустить и этот па­раграф.

* Вспомните, что классически U= -m·B, так что энергия наименьшая, когда момент направлен по полю. Для положительно за­ряженных частиц магнитный момент параллелен спину, для отрицатель­ных — наоборот. Значит, в (10.27)