/
>5654884, что равно 2,000000176838287…. Говорят, что предел этой последовательности равен √2.
Рассмотрим еще один пример последовательности: >4/>1, >8/>3, >32/>9, >128/>45, >768/>225, >4608/>1575, >36864/>11025, >294912/>99225, …. Здесь N-й член последовательности получается так: если N четно, то умножаем предыдущий член на >N/>(N + 1), а если N нечетно, то умножаем предыдущий член на >(N + 1)/>N. Такая последовательность сходится к числу π. Последняя из приведенных дробей равна 2,972154… (данная последовательность сходится очень медленно).[4] А вот еще пример: 1>1, (1>1/>2)>2, (1>1/>3)>3, (1>1/>4)>4, (1>1/>5)>5, … — эта последовательность сходится к числу, которое примерно равно 2,718281828459. Это необычайно важное число, и мы будем использовать его в дальнейшем.
Стоит заметить, что приведенные только что примеры — это примеры последовательностей, т.е. наборов чисел, записанных через запятую. Это не ряды, члены которых надо складывать. Но с точки зрения анализа ряд — это все-таки слегка замаскированная последовательность. Утверждение «ряд 1 + >1/>2 + >1/>4 + >1/>8 + >1/>16 + >1/>32 + … сходится к 2» математически эквивалентно такому утверждению: «последовательность 1, 1>1/>2, 1>3/>4, 1>7/>8, 1>15/>16, 1>31/>32, … сходится к 2». Четвертый член этой последовательности представляет собой сумму первых четырех членов ряда и т.д. (Название последовательности такого типа на математическом языке — последовательность частичных сумм данного ряда.) Аналогично, утверждение «гармонический ряд расходится» эквивалентно утверждению «последовательность 1, 1>1/>2, 1>5/>6, 2>1/>12, 2>17/>60, 2>27/>32, … расходится». В этой последовательности N-й член равен предыдущему плюс >1/>N.
Все это относится к анализу, т.е. к изучению пределов — того, как именно числовая последовательность может приближаться к некоторому предельному числу, никогда точно его не достигая. Когда говорится, что последовательность продолжается неограниченно, имеется в виду, что, сколько бы членов мы уже ни выписали, всегда можно написать следующий. Когда говорится, что последовательность имеет предел, равный a, имеется в виду, что, какое бы малое число x мы ни взяли, начиная с некоторого момента каждый член последовательности будет отличаться от a на величину, меньшую, чем выбранное x. А если вы предпочитаете говорить «Последовательность стремится к бесконечности» или «Предел N-го члена при N, стремящемся к бесконечности, есть a», то вы вправе так выражаться, если вы сами осознаете, что это просто удобная фигура речи.
