В 1992 году Громов был назначен консулом Генерального консульства РФ в Словацкой Республике. В то же время послом России в этой стране был Сергей Ястржембский, в 2004 году ставший представителем президента Владимира Путина по вопросам развития отношений с Европейским союзом. В 1993 году Громов стал советником-посланником российского посольства в Словакии (вторым, после посла, должностным лицом). СМИ отмечали, что как раз в это время завершался процесс разделения Чехии и Словакии и Громов с Ястржембским представляли в ходе него Российскую Федерацию.
22 ноября 1996 года Громов был назначен руководителем управления пресс-службы и информации администрации президента РФ. СМИ связывали это назначение с тем, что в августе того же года пресс-секретарем повторно избранного президента Бориса Ельцина стал Ястржембский, который курировал работу управления пресс-службы. Назначение же Ястржембского, по данным СМИ, состоялось по инициативе руководителя президентской администрации Анатолия Чубайса (с 1998 года руководитель РАО «ЕЭС России»).
