(приведением к абсурду). Этот способ заключается в следующем: предположив ложность теоремы, которую нужно доказать, показывают, что это предположение приводит к противоречию.
Доказательство. Предположим, что наша теорема о единственности разложения на множители неверна. Тогда должны существовать числа, имеющие по крайней мере два различных разложения на простые множители. Выберем из них наименьшее и обозначим его через с>0. Для небольших чисел, скажем, меньших 10, истинность теоремы можно установить прямой проверкой. Число с>0 имеет наименьший простой множитель р>0, и мы можем записать:
c>0 = p>0 d>0.
Так как d>0 < c>0, то число d>0 единственным образом раскладывается на простые множители. Отсюда следует, что разложение числа c>0 на простые множители, содержащее число р>0, единственно.
А так как, по предположению, имеется по крайней мере два разложения числа c>0 на простые множители, то должно быть разложение, не содержащее число р>0. Наименьшее простое число в этом разложении мы обозначим через р>1 и запишем
c>0 = p>1d>1. (3.1.1)
Так как p>1 > p>0, то d>1 < d>0 и, следовательно, p>0 d>1 < c>0. Рассмотрим число
c>0' = c>0 — p>0d>1 = (p>1 - p>0) • d>1. (3.1.2)
Так как оно меньше, чем число c>0, то оно должно раскладываться на простые множители единственным способом; при этом простые множители числа c>0 состоят из простых множителей чисел p>1 - p>0 и d>1. Так как число c>0 делится на p>0, то из выражения (3.1.2) следует, что число c>0' также делится на p>0. Следовательно, p>0 должно быть делителем либо числа d>1, либо p>1 - p>0. Но любой простой делитель числа d>1 больше, чем p>0, так как p>1 — наименьшее простое число в разложении (3.1.1). Таким образом, остается единственная возможность: p>0 должно быть делителем числа p>1 - p>0 и, следовательно, оно делит p>1. Итак, мы пришли к противоречию, потому что p>1 является простым числом и не может делиться на другое простое число p>0.
Выше мы отмечали, что единственность разложения числа на простые множители совсем не очевидна. В действительности, существуют «арифметики», в которых аналогичная теорема не выполняется. Простейшим примером такой арифметики может служить арифметика четных чисел
2, 4, 6, 8, 10, 12…
Некоторые из них могут быть разложены на два четных множителя, а другие — нет; последние мы называем чётно-простыми числами. Это числа, которые делятся на 2, но не делятся на 4:
2, 6, 10, 14, 18….
Очевидно, что каждое четное число либо является четно-простым, либо записывается в виде произведения чётно-простых чисел. Но такое разложение на чётно-простые числа не всегда будет единственным. Например, число 420 может быть разложено на четно-простые числа различными способами:
