Приглашение в теорию чисел | страница 15

Существует бесконечное число простых чисел.

Доказательство. Предположим, что существует только k простых чисел:

2, 3, 5…, р_>k.

Тогда в решете не оказалось бы неподчёркнутых чисел, больших, чем р_>k. Но это невозможно, так как произведение этих простых чисел

р = 2 • 3 • 5 • … • р_>k

будет отсеиваться k раз, по разу для каждого простого числа, поэтому следующее число р + 1 не может быть подчеркнуто ни для одного из них.

Система задач 2.4.

1. Составьте таблицы простых чисел для каждой из сотен: 1—100, 101–200, … 901—1000.

2. Попытайтесь определить количество простых чисел в диапазоне 10001—10100.

Любое составное число с может быть записано в виде произведения с = ab, причем ни один из делителей не равен 1 и каждый из них меньше, чем с; например,

72 = 8 • 9, 150 = 10 • 15.

При разложении числа с на множители один из них, и даже оба (а и b) могут оказаться составными. Если а — составное, то разложение на множители можно продолжить:

а = a_>1 • a_>2, с = a_>1 • a_>2 • b.

Примерами этого могут служить рассмотренные выше числа

72 = 2 • 4 • 9, 150 = 2 • 5 • 15.

Этот процесс разложения на множители можно продолжить до тех пор, пока он не закончится; это должно произойти, так как делители становятся все меньше и меньше, но не могут стать единицей. Когда ни один из делителей нельзя уже будет разложить на множители, то все делители будут простыми числами.

Таким образом мы показали, что

Каждое целое число, большее 1, является простым числом или произведением простых чисел.

Последовательное разложение числа на множители может быть выполнено многими способами. При этом можно использовать таблицу делителей. Сначала найдем наименьшее простое число р_>1, делящее число с, так что с = р_>1с_>1. Если с_>1 — составное число, то по таблице делителей найдем наименьшее простое число р_>2, делящее с_>1, так что

c_>1 = р_>2 • с_>2,   c = p_>1 • p_>2 • с_>2.

Затем найдем наименьший простой делитель числа с_>2 и т. д.

Но главное здесь то, что независимо от способа разложения числа на простые множители результат всегда будет одним и тем же, различаясь лишь порядком их записи, т. е. любые два разложения числа на простые множители содержат одни и те же простые числа; при этом каждое простое число содержится одинаковое число раз в обоих разложениях.

Этот результат мы можем кратко выразить следующим образом:

разложение числа на простые множители единственно.

Возможно, что вы так часто слышали об этой так называемой «основной теореме арифметики» и пользовались ею, что она представляется вам очевидной, но это совсем не так. Эта теорема может быть доказана несколькими различными способами, однако ни один из них не тривиален. Здесь мы приведём доказательство, используя способ «от противного», который часто называют его латинским названием