, указанными выше, а также значениями
р = 61, р = 89, р = 107.
Эти 12 простых чисел Мерсенна были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины. Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257. Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсенна.
Затем задача была переложена на плечи ЭВМ. Создание все более высокопроизводительных ЭВМ дало возможность продолжить поиск новых простых чисел Мерсенна. Д. X. Лемер установил, что значения
р = 521, р = 607, р = 1279, р = 2203, р = 2281
дают простые числа Мерсенна. Дальнейшие поиски также увенчались успехом. Ризель (1958) показал, что
р = 3217,
дает простое число Мерсенна, а Гурвиц (1962) нашёл еще два таких значения:
р = 4253, р = 4423.
Огромного успеха добился Гиллельс (1964), который нашел простые числа Мерсенна, соответствующие значениям
р = 9689, р = 9941, р = 11213.
Итак, общий урожай составил 23 простых числа Мерсенна, и, так как мощности ЭВМ продолжают увеличиваться, мы надеемся на дальнейший успех. Простое число Лукаса М>127, как мы уже упоминали, имеет 39 цифр. Даже вычисление самого большого из известных простых чисел, числа M>11213, является довольно сложной задачей и, по-видимому, нет смысла воспроизводить здесь это число. Если же мы захотим узнать, сколько цифр содержит это число, то мы можем сделать это, не вычисляя самого числа.
Вместо нахождения количества цифр числа М>р = 2>p — 1 рассмотрим эту задачу для числа М>р + 1 = 2>р.
Эти два числа имеют одинаковое количество цифр, так как если бы число М>р + 1 имело на одну цифру больше, то оно должно было бы оканчиваться на 0. Но это невозможно ни для какой степени числа 2, что видно из ряда
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 266….
в котором последняя цифра в каждом числе может быть только одним из чисел
2, 4, 8, 6.
Чтобы найти количество цифр числа 2>p, вспомним, что Ig 2>p = p lg 2. Из таблиц находим, что Ig 2 приближенно равняется 0,30103, откуда
lg 2>p = p lg 2 = р • 0,30103.
Для р = 11213 получаем
lg 2>11213 = 3375,449…,
и так как характеристика этого числа равна 3375, то мы приходим к выводу, что число 2>p имеет 3376 цифр.
Итак, мы можем сказать следующее.
Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. (Здесь слова «в настоящее время» имеют существенное значение.) Это число было найдено на ЭВМ Иллинойского университета (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме, для всеобщего восхищения.
