§ 2. Простые числа Мерсенна
В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателем самого большого из известных простых чисел. Разумеется, можно было бы выбрать несколько очень больших чисел, не имеющих таких очевидных делителей, как 2, 3, 5, 7, и проверить, являются ли они простыми числами. Этот способ, как мы вскоре убедимся, не очень эффективен. Теперь эта погоня утихла, она идет только в одном направлении, оказавшемся удачным.
Простые числа Мерсенна являются простыми числами специального вида
М>р = 2>p - 1, (2.2.1)
где р — другое простое число. Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о совершенных числах, которые мы рассмотрим позже. Свое название они получили в честь французского монаха Мерена Мерсенна (1588–1648), который много занимался проблемой совершенных чисел.
Если начать вычислять числа (2.2.1) для различных простых чисел р, то видно, что не все они оказываются простыми. Например,
М>2 = 2>2 — 1 = 3 = простое,
М>3 = 2>3 — 1 = 7 = простое,
М>5 = 2>5 — 1 = 31 = простое,
М>7 = 2>7 — 1 = 127 = простое,
М>11 = 2>11 — 1 = 2047 = 23 89.
Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсенна состоит в проверке всех чисел М>p для различных простых чисел р.
Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение. То, что с этой работой все-таки можно справиться уже для довольно больших чисел, объясняется существованием эффективных способов выяснения простоты для чисел такого вида.
В исследовании чисел Мерсенна можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 году, когда Леонард Эйлер[5] установил, что число М>31 является простым. К этому времени было найдено восемь простых чисел Мерсенна, соответствующих значениям
р = 2, р = 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, p = 19, р = 31.
Эйлерово число M>31 оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 году французский математик Лукас установил, что огромное число
М>127 = 170141183460469231731687303715884105727
является простым числом. Ну и число! С 39 цифрами. Простые числа Мерсенна, меньшие этого числа, задаются значениями
