Откуда мы знаем, что такое точка? | страница 9
Задача. В магазин привезли 100 килограммов ягод, влажность которых составляла 99%. Через некоторое время ягоды немного подсохли, и их влажность стала равна 97%. Сколько стали весить ягоды, привезенные в магазин?
Решение. Обозначим через х вес сухого вещества ягод. Имеем из условия:
х = 100 – 100·0,99 = 1 (кг). (1)
После усушки вес сухого вещества ягод, очевидно, не изменился, поэтому, обозначая через у (общий) вес ягод после усушки, очевидно, приходим ко второму уравнению:
Разрешая систему (1), (2) относительно у, неожиданно получаем:
Ответ: После усушки ягоды стали весить кг.
Итак, усохнув всего-навсего на 2%, ягоды стали почему-то весить втрое меньше…
Продвинутые ученики, понимают, конечно, в чем тут дело, но остальным полученный ответ кажется очень странным и даже неверным.
Тем самым возникает чисто педагогическая проблема – как изложить решение этой задачи, чтобы ее ответ сделался не странным, а, напротив, очевидным?
Как показывает опыт, делу может помочь следующая геометрическая модель (которую, впрочем, редко используют[4]); см. рис. 5.1, где условно принято:
AC = 100 (кг), AB = y (кг),
AD = AD = 1 (кг),
AD = 1% AC, AD = 3% AB.
Глядя на этот рисунок, даже слабые ученики воспринимают тот факт, что если отрезок AD составляет сотую долю известного отрезка AC, а отрезок, составляющий сотую долю от AB, в три раза короче, чем AD, то:
AB = 
В результате обращения к этой геометрической модели, задача оказывается не формально «пройденной», а действительно понятой учениками.
Хорошо известно следующее правило комбинаторики – так называемое правило произведения. Если нужно выбрать упорядоченную пару элементов (a,b) и первый элемент пары можно выбрать
k способами, а после того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать mспособами, то упорядоченную пару, состоящую из этих двух элементов, можно выбрать k∙mспособами.
Доказывается это очень просто. Будем изображать возможный выбор первого элемента пары (a,b)в виде ствола дерева
(см. рис. 6.1), а возможный выбор второго элемента пары – в виде ветки, растущей из верхнего конца ствола (см. рис. 6.2).
Тогда выбору упорядоченной пары вида (a,b)будет соответствовать маршрут от «подножия» одного из k деревьев до верхушки ствола и затем по одной из m веток до самого верха. Нетрудно видеть, что всего таких маршрутов будет
