Одинаковы ли у них высоты? Да, потому что треугольники заключены между параллельными линиями. Расстояние от точки
4 до линии
5-2 равно расстоянию от точки
3 до линии
5-2 (продолженной). Значит, площадь у треугольника
S24 такая же, как у
S23. Раньше я доказал, что треугольники
S12 и
S23 равны по площади. Отсюда ясно, что
S12=S24. Таким образом, при движении планеты по орбите площади, описываемые за первую и за вторую секунду, равны. Значит, путем рассуждений мы нашли связь между тем фактом, что сила направлена к Солнцу, и тем фактом, что площади равны. Не правда ли, остроумно? Я позаимствовал вывод прямо у Ньютона. Все это содержится в его "Principia": и схема, и доказательство. Только цифры другие, потому что он пользовался римскими цифрами, а я - арабскими.
Все доказательства в книге Ньютона были геометрическими. Сегодня мы строим доказательства по-другому. Мы доказываем аналитически, при помощи символов. Чтобы построить нужные треугольники, подметить равенство площадей, требуется изобретательность. Теперь мы имеем усовершенствованные методы анализа, более быстрые и эффективные. Я хочу показать вам, как это выглядит в обозначениях более современной математики, где для доказательства нужно лишь записать несколько символов.
Мы будем говорить о быстроте изменения площади и обозначим эту величину через А'. При повороте радиуса площадь изменяется, и быстрота ее изменения - это составляющая скорости, перпендикулярная радиусу, умноженная на радиус. Иначе говоря, это расстояние по радиусу, умноженное на скорость, т. е. на быстроту изменения расстояния:
A = r x r'
Спросим себя: изменяется ли сама скорость изменения площади? Закон Кеплера говорит, что скорость изменения площади не должна меняться. Поэтому мы дифференцируем написанное равенство, а тут весь фокус в том, чтобы поставить точки в нужных местах - и ничего больше. Таким фокусам надо научиться: это просто набор правил, которые были придуманы, чтобы облегчить доказательства. Мы пишем
A'' = r' x r' + r x r'' = r x F/m.
Первое слагаемое - это составляющая скорости, перпендикулярная самой скорости. Оно равно нулю - скорость направлена вдоль самой себя. Ускорение r'' - это вторая производная r, т.е. производная скорости. Она равна силе, деленной на массу.
Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади есть составляющая силы, направленная под прямым углом к радиусу. Но если сила направлена по радиусу,
