2 Структура доказательства у Евклида в связи с категориями модальности
Сейчас при изложении требующих доказательства предложений в математической литературе явно выделяются две части: формулировка предложения и его доказательство. Для античных авторов дело обстояло иначе. В изложении теоремы выделялось пять или шесть частей.(См. примечание 3)Этот способ структурирования процедуры доказательства оказывается очень уместным для правильного понимания соотношения возможного и действительного, а также общего и единичного в математическом рассуждении. Хинтикка [74] утверждает, что структура доказательства у Евклида явилась парадигмой для Канта.
Охарактеризуем кратко эти шесть частей изложения теоремы, используя в качестве примера упомянутую выше теорему о внутренних углах треугольника.
1. Утверждение (protasis) дает общую формулировку теоремы. В нашем случае эта первая часть теоремы выглядит так: сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым.
2. Экспозиция (ekqesis) указывает на единичный предмет, общее понятие которого дано в утверждении. Для геометрии естественно в этой части теоремы дать чертеж.
Пусть ABC - произвольный треугольник.
3. Ограничение или детерминация (diorismos) состоит в переформулировании общего утверждения для представленного в экспозиции единичного предмета: сумма углов 1, 2 и 3 равняется двум прямым.
4. Построение (kataskeuh) - это то, что сейчас обычно называют дополнительным построением. В нашем случае оно выглядит так:
проведем через вершину B прямую, параллельную основанию AC. 5. Доказательство (apodeixis) представляет собой последовательность логических выводов об элементах конструкции, представленной в предыдущей части. Эта последовательность должна завершиться утверждением, представленном в части 3. Для рассматриваемой нами теоремы имеет место следующий ряд заключений.
Угол 1 равен углу 4, а угол 3 равен углу 5 как накрест лежащие при пересечении пары параллельных прямых третьей.
Углы 4, 2, 5 в сумме составляют один развернутый, а потому их сумма равна двум прямым.
Из двух этих утверждений следует, что сумма углов 1, 2 и 3 также равна двум прямым.
6. Заключение (sumperasma) обобщает вывод, полученный в доказательстве, повторяя формулировку первой части:
итак, сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. В предыдущем параграфе мы уже обсудили смысл утверждения теоремы. Оно содержит общее синтетическое суждение. Впрочем, назвать его в полном смысле синтетическим еще нельзя. Хотя оно и присоединяет предикат к субъекту, создавая тем самым новое понятие, синтез еще не проведен. У нас нет пока уверенности в том, что названное в protasis понятие соответствует формальным условиям опыта. Иными словами мы пока только предполагаем возможность понятия.
