Мы будем придерживаться той интерпретации "Начал" Евклида, о которой упоминает, например, Фридман ([72], c. 88-89). Согласно этой интерпретации постулаты вводят ряд элементарных операций (построений), которые рассматриваются как заведомо выполнимые. Любое другое построение будет выполнимым, если оно представляет собой последовательность этих элементарных операций. (Естественно, что при дальнейшем изложении геометрии вместо элементарных операций могут фигурировать и более сложные построения, выполнимость которых показана ранее.) К развертыванию такой последовательность выполнимых операций сводится не только решение задач на построение, но и доказательство теорем. Всякое геометрическое предложение формулируется как некоторое общее утверждение. Это значит, что в нем предполагается возможность какого-либо понятия. Важно увидеть, что в любом предложении (т.е. в синтетическом суждении) речь идет именно об одном понятии. Добавляя к субъекту новый предикат, мы не устанавливаем отношение двух понятий, а создаем одно новое. Например, когда мы утверждаем, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, то предполагаем реальную возможность треугольника, обладающего названным признаком, т.е. мы говорим, что понятие "треугольник, сумма внутренних углов которого равна двум прямым" возможно. Выражение в кавычках неудачно в том смысле, что создает впечатление будто равенство суммы углов указанной величине есть некий различительный признак, выделяющий определенный вид в роде треугольников. Последнее, конечно же, неверно. Синтетическое суждение, являющееся содержанием приведенной теоремы, создает новое понятие, которое мы попытались назвать с помощью приведенного здесь несколько неуклюжего выражения. Это понятие нетождественно понятию треугольника, т.к. предикат не выводится из понятия субъекта. Он присоединяется к нему в процессе синтеза.
Проводимое далее доказательство, призванное показать реальность возможности обсуждаемого понятия, как раз и заключается в развертывании синтеза. Нам необходимо предъявить какую-либо построенную по правилам конструкцию, соответствующую понятию, реальная возможность которого доказывается. Конструкция должна быть сооружена в результате ряда действий, предписанных постулатами. Последовательность применения постулатов составляет схему рассматриваемого понятия, а возможность понятия будет установлена, когда будет завершено построение конструкции. Иными словами, возможность понятия будет установлена, когда мы предъявим соответствующий этому понятию единичный предмет, воспринимаемый чувствами. Чтобы более точно рассмотреть взаимодействие возможного и действительного при доказательстве, нам представляется уместным развернуть процедуру доказательства подробнее, описав ее в тех терминах, которые использовались еще в античности.
