Всё о метрологии | страница 13

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.

Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения X_>i будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1].

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения X_>i в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х:

F_>x(x) = P(X_>i ≤ x)  (4)

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие — значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:

• 0 ≤ F_>x(x) ≤ 1 при x ∈ (–∞, +∞),

• F_>x(–∞) = 0, F_>x(+∞) = 1,

• F_>x(x) — неубывающая функция x,

• P(x_>1 < X < x_>2) = F_>X(x_>2) – F_>X(x_>1).

На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

f(x) = dF_>X(x)/dx  (5)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx , т.е.

f(x)dx = P(x ≤ X ≤ x+dx)  (6)

Свойства плотности распределения вероятности:

иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность — величина безразмерная.

Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для вероятностей того, что результат наблюдений Х или случайная погрешность δ примет при проведении измерения некоторое значение в интервале [