Но что же представляют из себя идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и тому подобные, - отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:
(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.
(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.
(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.
(4) Каждого бокра будлают по меньшей мере две куздры.
Ни что такое куздры, ни что такое бокры, ни что такое будлать - всё это оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для получения из этих утверждений определённых заключений - то есть таких утверждений, которые непременно являются истинными при условии истинности всех утверждений нашего исходного квартета. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.
Итак, что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты (в данном случае - куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае - отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае - в утверждениях (1) - (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае - аксиомы куздроведения). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, то есть дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздроведения мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности - геометрия. Ограничимся для простоты планиметрией, то есть геометрией плоскости, без выхода в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:
1. Отношение инцидентности между точками и прямыми: точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу. В школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят “точка
