составляющие его знаки -
буквами, а всякую конечную цепочку букв -
словом в данном алфавите. [В отличие от “языковедческого”
слова, “математическое” слово может быть совершенно непроизносимым. Например, в русском переводе рассказа Лема “Вторжение с Альдебарана” встречаются такие имена альдебаранцев:
НГТРКС и
ПВГДРК; эти имена являются словами в русском алфавите. Возможно и такое, скажем, слово:)))=hgйъh=+(.] Нетрудно убедиться, что какой ни взять алфавит, множество всех слов в этом алфавите будет счётным. Тем самым никак не больше счётной будет любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты - и даже очень много таких объектов, - для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумать, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.
Только что приведённые соображения можно использовать для доказательства счётности множества алгебраических чисел и, следовательно, для доказательства существования трансцендентных чисел. Известно, что для всякого алгебраического уравнения множество его действительных корней, то есть таких действительных чисел, которые служат корнями этого уравнения, всегда конечно (оно может быть, в частности, и пустым). Расположим это множество в порядке возрастания, тогда каждый корень получит свой порядковый номер в этом расположении. Именем данного алгебраического числа объявим запись, состоящую из записи любого алгебраического уравнения, корнем которого данное число является (таких уравнений всегда много!), и записи порядкового номера этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, - а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени - это и будут трансцендентные числа.
Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:
(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом или же
