можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень - более одного квадрата.
Симпличио. Совершенно верно.
Сальвиати. Но если я спрошу, далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как ббольшая часть их не является квадратами”.
“Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?” - в растерянности спрашивает еще один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что в отношении двух таких количеств не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, - и то, и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с нашими привычками. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить - хотя бы потому, что каких-либо привычек оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно не-квадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все не-квадраты и получить тем самым совокупность всех чисел. Тем самым оказывается, что количество всех чисел действительно равно количеству квадратов - хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление - равенство по количеству совокупности и её собственной части - для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.
Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как это может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.
