Бесконечное вообще следует - в понятийном аспекте - трактовать как упрощённое представление о конечном, но очень большом. А бывает ли вообще бесконечное количество предметов? Бывает ли оно в физической реальности - этого никто не знает. Количество звёзд во Вселенной - конечно оно или бесконечно? Мнения расходятся, и проверить, кто прав, довольно затруднительно. В реальности же идеальной - да, бывает. Например, бесконечен натуральный ряд, то есть ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… Предупредим для ясности, что в этой главе, вплоть до особого распоряжения, никаких других чисел рассматриваться не будет, а потому натуральные числа будут именоваться просто числами.
Натуральный ряд представляет собой, пожалуй, наиболее простой пример бесконечной совокупности, или, как говорят математики, бесконечного множества. И уже в нём можно наблюдать некоторые парадоксальные явления, в частности - нарушение древней философемы “Целое больше части”. На это обратил внимание Галилей, описавший ситуацию с полной отчётливостью и наглядностью. В 1638 году вышла его книга “Беседы и математические доказательства…”. Изложение, в духе тогдашнего времени, выглядело как запись бесед, которые в течение шести дней вели между собою вымышленные персонажи. В первый же день была затронута тема бесконечности, в том числе применительно к натуральному ряду. Послушаем, что говорит один из участников беседы, синьор Сальвиати:
“Сальвиати. ‹…› Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.
Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.
Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь, если я скажу, что количество всех чисел вместе - квадратов и не квадратов - больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным; не так ли?
Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.
Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то
