Экзамен состоялся 7 ноября 1871 года. Пуанкаре выдержал его, но лишь с оценкой «удовлетворительно». Подвела его письменная работа по математике, которую Анри попросту провалил. История этого казуса такова: опоздав на экзамен, весьма возбужденный и выбитый из колеи, Анри плохо понял задание. Требовалось вывести формулу для суммы геометрической прогрессии. Но Пуанкаре отклонился от темы и начал излагать совершенно другой вопрос. В результате написанная им работа заслуживала лишь неудовлетворительной оценки. По формальным правилам Анри должен был в этом случае выбыть из числа экзаменующихся. Но слава о его необычных математических способностях достигла даже стен университета, где происходили экзамены на бакалавра. Председатель экзаменационной комиссии сказал, что любой другой учащийся после такой письменной работы не был бы допущен к устному экзамену, но Пуанкаре пошли навстречу. Университетские профессора отнеслись к его провалу как к досадному недоразумению и закрыли глаза на некоторое нарушение формальных канонов ради торжества справедливости. Им не пришлось об этом пожалеть, когда они присутствовали на устном экзамене. Анри отвечал уверенно и блестяще, продемонстрировав свободное владение материалом. Ему была присуждена степень бакалавра наук.
В это же время, в ноябре 1871 года, сдает два экзамена (на бакалавра словесности и на бакалавра наук) другой ученик лицея — Поль Аппель. После этого он уезжает домой, в Эльзас, чтобы весной 1872 года вновь вернуться в Нанси. Именно тогда и состоится его первая встреча с Пуанкаре.
Французская система образования предусматривала в лицеях, которые были на особо хорошем счету, два дополнительных класса, готовивших к поступлению в высшие учебные заведения. Окончив первый класс лицея, учащиеся могли продолжить обучение в классе элементарной математики, а на следующий год — в классе специальной математики. В некоторые высшие учебные заведения можно было поступить уже после класса элементарной математики. Но для того чтобы участвовать во вступительном конкурсе Политехнической школы или Высшей Нормальной школы, где на экзаменах предъявлялись весьма высокие требования, необходимо было пройти еще курс обучения в специальном классе. Учебная программа этого последнего класса лицея была чрезвычайно насыщена математическими дисциплинами. Излагались даже элементы математического анализа, то есть дифференциального и интегрального исчисления, основы аналитической геометрии, на высоком уровне преподавалась механика. Так обеспечивался отбор наиболее подготовленных учеников в эти ведущие учебные заведения страны.
