Уже в самых элементарных понятиях и созерцаниях, в самом устройстве воспринимающего аппарата проявляется коренное различие между аполлинической и фаустовской душой. Для древнего грека мир есть совокупность со всех сторон отграниченных тел. То бесконечное пространство, в которое для нашего созерцания погружены тела и которое таким образом является основным фоном западно-европейской картины мира, эллину неизвестно; на греческом языке нет слова для выражения такого восприятия; промежутки между телами грек называл "не сущим", "не существующим", "то мэ он". Элементом эллинской математики является рациональное положительное число, как орудие измерения конкретных осязаемых тел. Конечная задача - установить соизмеримость или пропорциональность. Пропорция, основа гармонии не только музыкальной, но и мировой - высший организующий принцип аполлинической души. Там, где нет общей меры, где нельзя выразить соотношение между величинами в виде пропорции (напр., длина диагонали и стороны квадрата), там эллин видел границу логического познания, торжество хаоса над космосом. Отношение между несоизмеримыми величинами он называет "арретос" или "алогос", т.-е. "несказуемое" или "внеразумное", - тот же буквальный смысл имеет и удержавшийся в нашей математике латинский термин "иррациональный". Если в античной математике понятие об иррациональной величине, - не говоря уже о величинах мнимых и комплексных, осталось неразработанным, то вовсе не потому, что эллинская математика не доразвилась до удовлетворительного решения этой проблемы; греческие ученые по остроте и тонкости мышления, по богатству математической фантазии стоят отнюдь не ниже западно-европейских. Дело здесь не в количественном совершенстве, а в качественной разнородности логических аппаратов; понятие иррационального, так сказать, принципиально неприемлемо для эллинского ума, ибо с античной "эвклидовской" точки зрения это вовсе не "понятие", а прямое отрицание понятия, явный абсурд, "алогичный логос". Эвклид, вместо того, чтобы допустить нелепое для него словосочет ррациональное число", говорит вполне логично: "несоизмеримые отрезки не относятся между собой как числа". Характерный эллинский миф рассказывает о трагической гибели того дерзкого пифагорейца, который осмелился открыто обсуждать вопрос о существовании иррациональных соотношений: боги потопили корабль, на котором он ехал, ибо невыразимое и безобразное должно вечно оставаться скрытым".
