Однако модулярная предобработка обладает одним отрицательным свойством — во всех случаях, когда y>i≠y>r>1, при целом r, разрушается отношение предшествования чисел. В табл. 8 приведен пример векторов. Поэтому, модульная предобработка пригодна при предобработке тех признаков, у которых важна не абсолютная величина, а взаимоотношение этой величины с величинами y>1, …, y>k.
Примером такого признака может служить угол между векторами, если в качестве величин y выбрать y>i=π/i.
Функциональная предобработка
Функциональная предобработка преследует единственную цель — снижение константы Липшица задачи. В разделе «Предобработка, облегчающая обучение», был приведен пример такой предобработки. Рассмотрим общий случай функциональной предобработки, отображающих входной признак x в k-мерный вектор z. Зададимся набором из k чисел, удовлетворяющих следующим условиям: x>min<y>1<…<y>k>-1<y>k<x>max.
Таблица 9. Пример функциональной предобработки числового признака x∈[0,5], при условии, что сигналы нейронов принадлежат интервалу [-1,1]. В сигмоидной предобработке использована φ(x)=x/(1+|x|), а в шапочной — φ(x)=2/(1+x²)-1. Были выбраны четыре точки y>i=i.
| x | z>1(x) | z>2(x) | z>3(x) | z>4(x) |
|---|
| Линейная предобработка |
|---|
| 1.5 | 0.5 | -0.5 | -1 | -1 |
| 3.5 | 1 | 1 | 0.5 | -0.5 |
| Сигмоидная предобработка |
|---|
| 1.5 | 0.3333 | -0.3333 | -0.6 | -0.7142 |
| 3.5 | 0.7142 | 0.6 | 0.3333 | -0.3333 |
| Шапочная предобработка |
|---|
| 1.5 | 0.6 | 0.6 | -0.3846 | -0.7241 |
| 3.5 | -0.7241 | -0.3846 | 0.6 | 0.6 |
Пусть φ — функция, определенная на интервале [x>min-y>k, x>max-y>1], а φ>min,φ>max — минимальное и максимальное значения функции φ на этом интервале. Тогда i-я координата вектора z вычисляется по следующей формуле:
(17)
Линейная предобработка. В линейной предобработке используется кусочно линейная функция:
(18)
Графики функций z>i(x) представлены на рис. 2а. Видно, что с увеличением значения признака x ни одна функция не убывает, а их сумма возрастает. В табл. 9 представлены значения этих функций для двух точек — x>1=1.5 и x>2=3.5.
Сигмоидная предобработка. В сигмоидной предобработке может использоваться любая сигмоидная функция. Если в качестве сигмоидной функции использовать функцию S>2, приведенную в разделе «Нейрон» этой главы, то формула (17) примет следующий вид:
Графики функций z>i(x) представлены на рис. 2б. Видно, что с увеличением значения признака x ни одна функция не убывает, а их сумма возрастает. В табл. 9 представлены значения этих функций для двух точек x>1=1.5 и x>2=3.5.
Шапочная предобработка. Для шапочной предобработки используются любые функции, имеющие график в виде «шапочки». Например, функция φ(
