Легко заметить, что при этом преобразовании все единичные координаты переходят в единичные, а координаты со значением –1 в нулевые. Таким образом .
По пятому свойству заключаем, что число линейно независимых векторов в множествах X и Y совпадает. Пусть 1≤m≤k. Докажем, что y>I>⊗k при |I|=m содержит компоненту, ортогональную всем y>J>⊗k, |J|≤m, J≠I.
Из предложения 1 имеем
(17)
Представим (17) в виде двух слагаемых:
(18)
Обозначим первую сумму в (18) через y>I0>⊗k. Докажем, что y>I0>⊗k ортогонален ко всем y>J>⊗k, |J|≤m, J≠I, и второй сумме в (18). Так как I≠J, I⊄J, существует q∈I, q∉J.
Из свойств сюръективного мультииндекса следует, что все слагаемые, входящие в y>I0>⊗k содержат в качестве тензорного сомножителя e>q, не входящий ни в одно тензорное произведение, составляющие в сумме y>J>⊗k. Из свойства 2 получаем, что (y>J>⊗k, y>I0>⊗k) = 0. Аналогично, из того, что в каждом слагаемом второй суммы L≠I, I⊄L следует ортогональность y>I0>⊗k каждому слагаемому второй суммы в (18) и, следовательно, всей сумме.
Таким образом y>I>⊗k содержит компоненту y>I0>⊗k ортогональную ко всем y>J>⊗k, |J|≤m, J≠I и (y>J>⊗k-y>I0>⊗k). Множество тензоров Y>k={y>I>⊗k, |I|≤k} удовлетворяет условиям леммы, и следовательно все тензоры в Y>k линейно независимы. Таким образом, число линейно независимых тензоров в множестве не меньше чем
Для того, чтобы показать, что число линейно независимых тензоров в множестве {x>⊗k} не превосходит этой величины достаточно показать, что добавление любого тензора из Y к Y>k приводит к появлению линейной зависимости. Покажем, что любой y>I>⊗k при |I|>k может быть представлен в виде линейной комбинации тензоров из Y>k. Ранее было показано, что любой тензор y>I>⊗k может быть представлен в виде (17). Разобьем (17) на три суммы:
