В конце ХIХ и начале ХХ вв. в физике, механике, математике стали обнаруживаться факты, которые не укладывались в стройную систему классической науки. В первую очередь, это неевклидова геометрия Н. И. Лобачевского, которая была изложена в его труде «О началах геометрии» (1829 г.). Вначале она не была понята даже некоторыми учеными, в том числе и М. В. Остроградским. Общее признание геометрия Лобачевского получила лишь после его смерти, когда в 1868 г. итальянский геометр Эудженио Бельтрами (1835–1900) доказал ее непротиворечивость. Независимо от Лобачевского к его идеям пришел также венгерский геометр Янош Бояци (1802–1860). На рубеже ХIХ–ХХ вв. появляется новый подход к решению задач механики – с использующий аппарата теории вероятностей и математической статистики.
Это все повлекло за собой и некоторые философские выводы: если законы Ньютона допускают широкое толкование и к ним можно применять коррективы, то не значит ли это, что описание явления не отражает его действительной сущности, а есть лишь некоторой условностью, не имеющей отношения к реальности? Формализация вопроса об описании явления приводила в конце концов к отрицанию объективной реальности вообще: к такому выводу пришел, в частности профессор Пражского университета Эрнст Мах (1838–1916) – физик-экспериментатор, философ-идеалист.
Как ни парадоксально, к концу ХIХ в. интенсивная работа над решением вопросов теоретического естествознания привела к тому, что количество накопленных фактов увеличилось; они появлялись и в физике, и в механике, и в математике. Кроме того, оказалось, что аппарат, который математики предоставляли в распоряжение физиков и механиков, не всегда удовлетворял последних, и им приходилось разрабатывать свой собственный. Так, во второй половине ХIХ в. совместными усилиями физиков, механиков, математиков было создано векторное исчисление, а физиком и инженером Хевисайдом – операционное исчисление. Нужно сказать, что операционное исчисление стало одним из первых направлений прикладной математики конца ХIХ в. Если в XVIII в. под прикладной математикой понималась чуть ли не вся физика и механика с добавлением целого ряда технических направлений, а в ХIХ в. прикладной математикой обычно называли аналитическую механику, то в самом конце ХIХ в. так называют уже различные теории не всегда строго обоснованные, но всегда имевшие практическое применение и несколько позднее изменившие содержание прикладной математики.
