(v. Helmholz, 1968, 75 f)
Согласно Гельмгольцу, нам могли бы быть даны априори определённые пространственные представления, но не касающиеся их метрики. Правда, ввиду биологических причин, а именно из-за нашей телесной организации, абсолютно невозможно для нас представить наглядно четвёртое измерение (1968, 28). Трёхмерность нашего пространственного созерцания является врождённой.
На основе математических и теоретико-познавательных данных мы делаем сегодня различия между реальным физическим пространством, пространством созерцания (в кантовском смысле), психологическими пространствами и абстрактными математическими пространствами. Это различие, правда, введено в философский оборот лишь в 20 столетии благодаря Шлику, Кассиреру, Карнапу(1).
Открытие неэвклидовых геометрий оживило также аксиоматический метод. Эвклидовская аксиоматическая система во все времена служила образцом, несмотря на это в течение 2000 лет не возникло ни одной другой такой системы. И тем плодотворнее дйствует аксиоматический метод в нашем столетии в математических и логических фундаментальных исследованиях. Новые дисциплины возникают и становятся аксиоматическими, среди них теория множеств, теория групп, топология, теория категорий. Становится ясным, что логика нуждается и способна к улучшениям (Больцано, Буль, Фреге). Связь логики и математики создаёт дальнейшие самостоятельные исследовательские области: математическую логику (Гильберт, Рассел, Уайтхед), теорию доказательства, математическую семантику (теорию моделей).
Исследования, в которых говорится о математических теориях называют метаматематикой. Также и метаматематика породила определённые теоретико-познавательные взгляды(2). Гёделевские результаты о полноте и неполноте формальных логических систем обозначили важные границы. Пост говорит поэтому о границах человеческих способностей математизирования, а Шольц (1969, 289, 367) называет гёделевские положения даже второй критикой чистого разума.
Новая постановка вопросов ведёт, наконец, к новой интерпретации характера математических теорий. Последние понимаются теперь как формальные системы, которые хотя и применимы к действительности, ничего о ней не говорят, они независимы от опыта и не могут быть поэтому доказаны или опровергнуты посредством опыта. От таких формальных систем не требуется, чтобы они были наглядными или интуитивно истинными, а только то, чтобы они были свободны от противоречий (Гильберт). Наглядность не есть критерий правильности математических теорий. Таким образом, математика не есть больше наука о пространстве и числе, а наука, описывающая формальные структуры посредством аксиоматических систем. "Логика и математика есть алфавит книги природы, но не сама книга " (Рассел). Математика во всяком случае не есть естествознание. Поэтому её можно характеризовать сегодня как науку о структурах(3).
