(Reichenbach, 1928, Einleitung)
Математика
Толчок к критическому изменению традиционных убеждений даёт прежде всего математика. Открытие не-эвклидовых геометрий Гауссом, Больяи (1823 / 1832), Лобачевским (1826/1829) и Риманом (1854) показало, что математическое понятие пространства может быть расширено без противоречий не только в сторону более высоких размеров, но также и в направлении не-эвклидовой метрики. Отсюда возникает вопрос, какова структура окружающего нас физического пространства. Мыслимо — если даже не представимо — что оно имеет не-эвклидову метрику, что позднее фактически утверждала теория относительности.
Карл Фридрих Гаусс (1777 — 1855) уже в 1830 г обозначает такую возможность в письме к Бесселю:
По моему глубокому убеждению, учение о пространстве в нашем априорном знании занимаент совершенно иное место, чем учение о числе; оно не соответствует тому совершенно полному убеждению его необходимого характера (абсолютной истинности), которое характерно для последнего; мы должны скромно признать, что… пространство также вне нашего духа имеет реальность, которой мы априори не можем полностью предписывать законы.
(Gaub, Werke V111, 201)
Исходя из возможности не-эвклидовой структуры физического пространства, он даже пытался точно измерить большой географический треугольник, но оказалось, что сумма углов треугольника с учётом ошибок измерения равна 180, как и требует эвклидова геометрия. (С 1919 года мы знаем, что отклонения становятся измеримыми лишь у астрономического треугольника.)
В 1870 году Герман фон Гельмгольц (1821 — 1894) указывает на "теоретико-познавательный интерес геометрии" (1968, 4). Математические, психологические и теоретико-познавательные исследовавния привели его к заключению, что предположение о том, что знание геометрических аксиом проистекает из трансцедентального созерцания, является недоказуемой, ненужной и совершенно неплодотворной гипотезой (1968, 80). Для него также — как для Гаусса — геометрия является не только формой нашего созерцания, но определяется реальными отношениями. Требуется эмпирическая проверка, чтобы установить соответствие форм созерцания реальному миру.
Если действительно, врождённая нам и неискоренимая форма созерцания, пространства имела бы характер аксиомы, то её объективное научное применение к опытному миру было бы оправдано лишь тогда, когда посредством наблюдения и опыта было установлено, что структура трансцедентального созерцания соответствует физической. Это условие совпадает с требованием Римана, чтобы искривление пространства, в котором мы живём, необходимо определялось эмпирически посредством измерений.
