Идеалисты и метафизики, несогласные с этими взглядами, ссылаются обыкновенно на пример математических аксиом, истинность которых познается помимо всякого опыта, а отрицание которых представляется нам совершенно немыслимым. Так, например, геометрическая аксиома, что «две прямые линии не могут заключать пространства», не могла возникнуть из опыта по следующим причинам: во-первых, опыт никогда не мог нас убедить, что две прямые линии, продолженные на громадное расстояние – тысячи и миллионы верст, не пересекутся более одного раза, ибо такого опыта мы никогда не делали; во-вторых, мы вовсе не нуждаемся в опыте, чтобы убедиться в истинности этой аксиомы: нам для этого достаточно воспроизвести две прямые линии в своем воображении; в-третьих, истины, выведенные из опыта, никогда не кажутся нам необходимыми. Так, например, мы из ежедневного опыта убеждаемся, что после ночи всегда следует день, и, несмотря на это, мы легко можем представить себе, что ночь будет продолжаться неопределенно долгое время и день никогда не наступит. Между тем попробуем отрицать математические аксиомы – попробуем представить себе, что две прямые линии заключают собой пространство, и мы немедленно убедимся в полной невозможности вызвать в своем уме требуемое представление. На основании всего этого идеалисты утверждают, что наше знание математических аксиом не вытекает из опыта, а прирождено нашей познавательной способности.
Возражение это очень серьезно и всегда составляло твердыню идеализма. Милль прекрасно сознавал важность неприятельской позиции и направлял все силы своей аргументации, чтобы выбить из нее врага. Он должен был согласиться с идеалистами, что воспроизведение геометрических фигур в воображении совершенно заменяет геометрический опыт. Это зависит от простоты и несложности пространственных восприятий, к которым мы привыкли с раннего детства; постоянно испытываемые нами впечатления времени и пространства воспроизводятся нами в воображении лучше, чем все остальные впечатления внешнего мира. Поэтому относительно математических аксиом внутренний духовный опыт с полным успехом может заменить действительные наблюдения.
Геометрическая фигура, которую я рисую в своем воображении, совершенно подобна такой же фигуре, нарисованной на бумаге, и с одинаковым успехом может служить основанием для моих выводов. Правда, мы никогда не видели двух прямых линий, продолженных на миллионы верст, но чтобы убедиться, что они не заключают пространство, нам не нужно следить за ними на громадные расстояния; достаточно перенестись мысленно в ту точку, где они пересеклись во второй раз, чтобы ясно увидеть, что линии перестали быть прямыми и изогнулись.
