Большая Советская Энциклопедия (КВ) | страница 77

Y_>0 = 0, поскольку невозможно уничтожить частицу в состоянии, в котором частиц нет; это равенство можно считать определением вакуума. Вакуумное состояние Y_>0 имеет в К. т. п. особое значение, т.к. из него при помощи операторов а^>+ можно получить любое состояние. Действительно, в рассматриваемом случае (когда состояние всей системы определяется только числом частиц)

,

,     (5)

……………………………………

  Легко показать, что порядок действия операторов а^>– и а^>+ не безразличен. Действительно, а^>–(а^>+Y_>0) = а^>–Y_>1 = Y_>0, в то время как а^>+(а^>–Y_>0) = 0. Т. о., (a^>–a^>+ — a^>+a^>–)Y_>0 = Y_>0, или

a^>–a^>+—a^>+a^>– = 1,     (6)

т. е. операторы а^>+ и а^>–являются непереставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в различном порядке называется перестановочными соотношениями, или коммутационными соотношениями для этих операторов, а выражения вида

 — коммутаторами операторов  и .

  Если учесть, что частицы могут находиться в различных состояниях, то, записывая операторы порождения и уничтожения, надо дополнительно указывать, к какому состоянию частицы эти операторы относятся. В квантовой теории состояния задаются набором квантовых чисел, определяющих энергию, спин и др. физические величины; для простоты обозначим всю совокупность квантовых чисел одним индексом n: так, а^>+_>n обозначает оператор рождения частицы в состоянии с набором квантовых чисел n. Средние числа частиц, находящихся в состояниях, соответствующих различным n, называются числами заполнения этих состояний.

  Рассмотрим выражение a^>–_>n>а^>+_>mY_>0. Сначала на Y_>0 действует «ближайший» к нему оператор а^>+_>m; это отвечает порождению частицы в состоянии m. Если n = m, то последующее действие оператора а^>–_>n приводит опять к Y_>0, т. е. а^>–_>nа^>+_>nY_>0 = Y_>0. Если n ¹ m,то а^>–_>nа^>+_>mY_>0 = 0, поскольку невозможно уничтожение таких частиц, которых нет (оператор а^>–_>n описывает уничтожение частиц в таких состояниях n, каких не возникает при действии a^>+_>n на Y_>0). С учетом различных состоянии частиц перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения имеют следующий вид:

а^>–_>nа^>–_>m —а^>–_>m а^>–_>n = 0,

            а^>+_>nа^>+_>m—а^>+_>m а^>+_>n = 0          (7)

  Однако существуют поля, для которых связь между произведением операторов рождения и уничтожения, взятых в различном порядке, имеет др. вид: знак минус в (7) заменяется на плюс (это называется заменой коммутаторов на антикоммутаторы),

     (8)

а^>–_>nа^>–_>m —а^>–_>m а^>–_>n = 0, а^>+_>nа^>+_>m—а^>+_>m а^>+_>n = 0