(
х) = 1, т. е. его левая часть является К. ф.; в однородных координатах левая часть любого уравнения линии и поверхности 2-го порядка является К. ф. При замене переменных
x>1,
x>2,...,
x>n др. переменными
y>1,
y>2,...,
y>n, являющимися линейными комбинациями старых переменных, К. ф. переходит в другую К. ф. Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного преобразования) можно привести К. ф. к виду суммы квадратов переменных, умноженных на некоторые числа. При этом ни число квадратов (ранг К. ф.), ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах (сигнатура К. ф.) не зависят от способа приведения К. ф. к сумме квадратов (закон инерции). Указанное приведение можно осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к главным осям.
При рассмотрении комплексных переменных изучаются К. ф. вида
где
— число, комплексно сопряженное с
x>j. Если, кроме того, такая К. ф. принимает только действительные значения (это будет, когда (
), то её называют эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным К. ф.: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга, закон инерции.
Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970.
Квадрати'чное отклоне'ние, квадратичное уклонение, стандартное отклонение величин x>1, x>2,..., x>nот а — квадратный корень из выражения
.
Наименьшее значение К. о. имеет при а =
, где
— среднее арифметическое величин
x>1,
x>2,...,
x>n:
.
В этом случае К. о. может служить мерой рассеяния системы величин x>1, x>2,..., x>n.Употребляют также более общее понятие взвешенного К. о.
;
числа p>1,..., p>n называют при этом весами, соответствующими величинам x>1,..., x>n. Взвешенное К. о. достигает наименьшего значения при а, равном взвешенному среднему:
(p>1x>1 +... + p>nx>n)/(p>1 +...+ p>n).
В теории вероятностей К. о. ох случайной величины Х (от её математического ожидания) называют квадратный корень из дисперсии
.
К. о. употребляют как меру качества статистических оценок и называют в этом случае квадратичной ошибкой. См. Ошибок теория.
Квадрати'чноесре'днее, число (s), равное корню квадратному из среднего арифметического квадратов данных чисел a>1, a>2,..., a>n:
.
