— А какие числа, начинающиеся с цифры 2 или 3, оказываются неприемлемыми для твоей машины? — спросил Крейг.
— Ну, например, не является допустимым число 2, поскольку оно не попадает под действие ни правила 1, ни правила 2; однако любое многоразрядное число, начинающееся с цифры 2, является допустимым. Не будет, например, допустимым число, состоящее из одних только троек. Кроме того, не являются допустимыми числа вида 32, 332 или числа, задаваемые в виде произвольной цепочки троек, за которыми следует цифра 2. В то же время для любого числа X допустимыми будут числа 2Х, 32Х, 332Х и т. д. Короче говоря, допустимыми числами являются только числа вида 2Х, 32Х, 332Х, 3332Х, а также любая цепочка троек, за которыми следуют цифры 2Х. Далее, поскольку число 2Х порождает X, а число 32 X порождает ассоциат числа X, то число 332Х в свою очередь порождает ассоциат ассоциата числа X—число, которое логично называть двойным ассоциатом числа X, а соответственно число 3332Х будет давать нам ассоциат ассоциата числа X—это число будем называть тройным ассоциатом числа X — и т. д.
— Вот теперь я понял все до конца, — удовлетворенно заметил Крейг. — Правда, мне бы хотелось еще узнать, о каких это забавных свойствах твоей машины ты упоминал?
— Тут-то мы как раз и приходим к различного рода комбинаторным головоломкам, — пояснил Мак-Каллох. — О некоторых из них я и хочу тебе рассказать!
1. — Начнем с самого простого примера, — сказал Мак-Каллох. — Пусть имеется число N, которое порождает само себя; значит, когда ты вводишь его в машину, она выдает тебе то же самое число N. Не мог бы ты найти такое число?
2. — Прекрасно, — одобрил Мак-Каллох, когда Крейг показал ему свое решение. — А теперь еще об одной интересной особенности этой машины. Пусть имеется число N, которое порождает ассоциат самого себя; другими словами, если ты вводишь в машину число N, то она выдает тебе число N2N. Не сможешь ли ты отыскать это число?
Эта задача показалась Крейгу несколько труднее предыдущей, но в конце концов он справился и с ней. А вы сумеете ее решить?
3. — Превосходно, — сказал Мак-Каллох, взглянув на решение Крейга. — Единственно, что хотелось бы мне знать, — это каким путем ты шел, чтобы найти исходное число N: так сказать, методом «тыка» или же ты действовал по заранее намеченному плану? И кроме того, является ли найденное тобой N единственно возможным числом, порождающим ассоциат самого себя, или же существуют и другие такие числа?
