Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов | страница 49

(u,v) есть предикат, в котором переменная u определена на множестве дней, а переменная v на области настроений, связанных с «телесным недугом» и «страшными нравственными тревогами», то в исчислении предикатов началу стихотворения Тютчева будет соответствовать формула uQ(u,v).

Отметим, что имеют место следующие соотношения:

Справедливость их вытекает из смысла кванторов. Они позволяют любую формулу в исчислении предикатов представить в виде предваренной нормальной формы (ПНФ). В ней сначала выписываются все кванторы, а затем предикатные выражения. Например, формула

записана в ПНФ.

Введение кванторов и

, а также их отрицаний наводит на мысль о связи исчисления предикатов и силлогистики Аристотеля. Вспомним еще раз смысл кванторов, использованных в силлогистике: Asp – «Всякое s есть р»; Esp – «Ни одно s не есть р», Isp – «Некоторые s есть р» и Osp – «Некоторые s не есть р». Представляется вполне справедливым заменить эти выражения силлогистики следующими четырьмя формулами исчисления предикатов:

На первый взгляд такая замена вполне законна. Но для того, чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что в исчислении предикатов могут быть выведены все модусы силлогистики Аристотеля.

Система аксиом и правила вывода в исчислении предикатов могут быть заданы следующим образом. В качестве системы аксиом берется любая известная система аксиом исчисления высказываний и к ней добавляются специфические для исчисления предикатов аксиомы, например, такие:

Смысл их очевиден. Первая аксиома говорит о том, что если Р(х) истинен для любых х, то и для некоторого у из того же универсума истинность предиката должна сохраняться. Вторая аксиома говорит о том, что если найдется такое у, что Р(у) будет истинным, то верно, что существует х, для которого Р(х) истинно.

К правилам вывода, используемым в исчислении высказываний, в исчислении предикатов добавляются еще три правила.

1. Пусть F_>1 и F_>2 – две формулы исчисления предикатов. И пусть в F_>1 переменная х не входит, а в F_>2 входит в качестве свободной переменной. Пусть, наконец, формула F_>1F_>2 является выводимой. Тогда выводима и формула F_>1xF_>2.

2. Если х содержится в качестве свободной переменной в F_>1 и не содержится в таком виде в F_>2 и если F_>1F_>2 – выводимая формула, то

xF_>1F_>2 также является выводимой.

3. Если F – выводимая формула и в F есть кванторы общности и существования, то любая из связанных ими переменных может быть заменена на другую связанную переменную одновременно во всех областях действий квантора и в самом кванторе. Полученная после этого формула также является выводимой.