пространства приводит к абсурдным заключениям.
Представим, что каждый элемент x множества положительных вещественных чисел отображается точкой на числовой прямой. Каждому числу x, большему 1, поставим во взаимно-однозначное (биективное) соответствие число 1/x. Тогда интервал единичной длины (0, 1], рассматриваемый как множество точек, окажется больше интервала (1, ∞), поскольку всем точкам последнего будет соответствовать какая-то точка интервала (0, 1], и вместе с тем интервалу (0, 1] принадлежит точка 1, которой нет соответствия на интервале (1, ∞). Выражаясь проще: 1 > ∞ - 1. Если мы спроецируем таким же образом точки интервала (1, 2] на интервал [½, 1), то получим, что 2 - 1 = 1 - ½, т. е. 1 = ½ или 1 = 2 или 1 = 0 (в зависимости от преобразования равенства); если проделаем аналогичную операцию с интервалом (2, 4], то получим 1 = ⅛ или 1 = 8 и т. д. Эти абсурдные результаты — очевидное следствие того, что все рассматриваемые множества точек являются континуальными. С ними нельзя производить подобные операции. С другой стороны, сами по себе эти операции математически корректны и опираются на эмпирическую реальность. А вот понятия бесконечности и точки (которую можно представить как частное выражение понятия бесконечности: предел бесконечного деления) имеют к эмпирической реальности весьма косвенное отношение — это лишь экстраполяции нашего разума (в природе нет известных нам примеров актуальной бесконечности). Воображаемые точки не имеют размера и при этом занимают какое-то место в пространстве (имеют свои координаты) — конечно, такие парадоксальные объекты не могут считаться реальными сущностями. Поэтому определять с их помощью местоположение некоего простого (несоставного) материального объекта было бы неверно. Такие объекты сами могли бы рассматриваться как точки, образующие пространство, но уже не воображаемые, а реальные.
Все это, кажется, свидетельствует против антитезиса Канта (а заодно и апорий Зенона) и против представления о непрерывности пространства и материи. Кроме того, кажется очевидным, что в случае непрерывности материи было бы невозможно ее движение, перемещение, — ведь для него не будет свободного пространства (это верно и в том случае, когда под движениями материи понимаются флуктуации физического вакуума).
Напротив, доказательство тезиса кантовской антиномии выглядит весьма убедительным (вспомним также доводы Гильберта и Бернайса). Но что тогда придает целостность дискретной материи? К тому же, хоть движение и невозможно в заполненном пространстве, как оно возможно в дискретном, пустом?
