Заметим, что мы доказали теорему существования иррациональных чисел, не предъявив ни одного иррационального числа.
Но совсем нетрудно привести и пример иррационального числа, например, это √2- Действительно, пусть это число
- 15 -
рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
√2 = p/q
где р и q — целые числа, не имеющие общих делителей (кроме 1). Возведя это равенство в квадрат, получим
2q>2 =p>2.
Значит, р>2 четно, р · р делится на 2. Поэтому р делится на 2, а значит, р>2 делится на 4. (Если р = 2р>1, то р>2 = 4p>1>2.) Тогда
2q>2 = 4p>1>2,
q>2 = 2p>1>2.
Это означает, что q>2 делится на 2, поэтому и q делится на 2.
Мы получили, что и р, и q делятся на 2, и дробь p/q можно сократить на 2. Но мы же предполагали, что эта дробь несократима! Полученное противоречие означает, что √2 не может быть рациональным числом.
Итак, √2 — число иррациональное.
Конечно, когда мы доказали иррациональность числа √2, мы тем самым ещё раз доказали теорему существования иррациональных чисел. Однако существуют и такие классы чисел, доказать существование которых намного проще, чем построить конкретный пример.
Алгебраические и трансцендентные числа
Число α называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами
a>nx>n + a>n>-1x>n>-1 + ... + а>1х + а>0
(т. е. корнем уравнения a>nx>n + a>n>-1x>n>-1 + ... + а>1х + а>0 = 0,
где a>n, a>n>-1 , ... + а>1, а>0 — целые числа, n ≥ 1, a>n ≠ 0).
Множество алгебраических чисел обозначим буквой А.
- 16 -
Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно, p/q - корень уравнения qx—p = 0 с целыми коэффициентами а>1 = q и а>0 = —р. Итак, Q ⊂ А.
Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число √2 является корнем уравнения х>2 — 2 = 0, следовательно, √2 — алгебраическое число.
Долгое время оставался нерешённым важный для математики вопрос:
Существуют ли неалгебраические действительные числа?
Только в 1844 году Лиувилль* впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа.
Построение этого числа и доказательство его трансцендентности очень сложны. Доказать теорему существования трансцендентных чисел можно значительно проще, используя соображения об эквивалентности и неэквивалентности числовых множеств.
А именно, докажем, что множество алгебраических чисел счётно. Тогда, поскольку множество всех действительных чисел несчётно, мы установим существование неалгебраических чисел.
Построим взаимно однозначное соответствие между А и некоторым подмножеством Q. Это будет означать, что А — конечно либо счётно. Но поскольку Q ⊂ А, то А бесконечно, и значит, счётно.
