Проблемы Гильберта (100 лет спустя) | страница 4
Однажды в этой гостинице проходил съезд космозоологов, в котором участвовали представители всех галактик. Так как галактик тоже бесконечное множество, все места в гостинице оказались занятыми. Но в это время к директору гостиницы приехал его друг и попросил поселить его в эту гостиницу.
«После некоторых размышлений директор обратился к администратору и сказал:
— Поселите его в №1.
— Куда же я дену жильца этого номера? — удивлённо спросил администратор.
— А его переселите в №2. Жильца же из №2 отправьте в №3, из №3 — в №4 и т. д.»
Вообще, пусть постоялец, живущий в номере k, переедет в номер k + 1, как это показано на следующем рисунке:
Тогда у каждого снова будет свой номер, а №1 освободится. Таким образом, нового гостя удалось поселить — именно потому, что номеров в гостинице бесконечно много.
--------------------
* Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1965.
- 7 -
Первоначально участники съезда занимали все номера гостиницы, следовательно, между множеством космозоологов и множеством N было установлено взаимно однозначное соответствие: каждому космозоологу дали по номеру, на двери которого написано соответствующее ему натуральное число. Естественно считать, что делегатов было «столько же», сколько имеется натуральных чисел. Но приехал ещё один человек, его тоже поселили, и количество проживающих увеличилось на 1. Но их снова осталось «столько же», сколько и натуральных чисел: ведь все поместились в гостиницу!
И если обозначить количество космозоологов через No*, то мы получим «тождество» No = No + 1. Ни для какого конечного No оно, разумеется, не выполнено.
Мы пришли к удивительному выводу: если к множеству, которое эквивалентно N, добавить ещё один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно N. Но ведь совершенно ясно, что делегаты-космозоологи представляют собой часть того множества людей, которые разместились в гостинице после приезда нового гостя. Значит, в этом случае часть не «меньше» целого, а «равна» целому!
Итак, из определения эквивалентности (которое не приводит ни к каким «странностям» в случае конечных множеств) следует, что часть бесконечного множества может быть эквивалентна всему множеству.
Возможно, что известный математик Больцано**, который пытался в своих рассуждениях применять принцип взаимно однозначного соответствия, испугался таких непривычных эффектов и поэтому не стал дальше развивать эту теорию. Она показалась ему совершенно абсурдной. Но Георг Кантор*** во второй половине XIX века вновь заинтересовался этим вопросом, стал исследовать его и создал теорию множеств, важный раздел оснований математики.
