Когда эти проблемы были сформулированы, выяснилось, что некоторые из них либо решены, либо близки к решению.
Однако другие потребовали для своего решения несколько десятков лет и усилий многих выдающихся математиков, а две из них до сих пор не решены. Почему же Гильберт включил в свой доклад именно эти 23 проблемы? Чем он руководствовался, формулируя их?
Сам Гильберт, поясняя свой выбор, приводил слова одного известного французского математика: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному». Конечно, здесь имеется некоторое преувеличение, но процитированная фраза пока-
------------------------
* Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Факториал,
1998. См. также Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.
- 4 -
зывает, что Гильберт придавал большое значение понятности и доступности математики.
Выбирая проблемы для своего доклада, Гильберт придерживался следующих принципов. Он говорил, что задача должна быть
а) понятной (должно быть ясно, откуда она возникла);
б) достаточно трудной, чтобы вызывать интерес;
в) не настолько трудной, чтобы её невозможно было решить.
Перейдём теперь к более подробному рассказу о некоторых из этих проблем.
Первая проблема Гильберта:
континуум-гипотеза
Континуум-гипотеза, первая проблема Гильберта, относится к задачам оснований математики и теории множеств. Она тесно связана с такими простыми и естественными вопросами, как «Сколько?», «Больше или меньше?», и практически любой старшеклассник может понять, в чём состоит эта проблема. Тем не менее, нам потребуются некоторые дополнительные сведения, чтобы её сформулировать.
Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков?
Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е. мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же остались только мальчики, значит, мальчиков больше, и наоборот.
Этот способ, иногда более естественный, чем непосредственный пересчёт, называется принципом разбиения на пары, или принципом взаимно однозначного соответствия.
- 5 -
Рассмотрим теперь совокупность объектов произвольной природы — множество. Объекты, входящие в множество, называются его элементами. Если элемент х входит в множество X, это обозначают так: х ∈ X. Если множество Х
