Параллельный перенос вектора. Критика | страница 8

Рис.5. Перенос вектора в искривлённом 2-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

На рисунке мы обязаны всегда вектор "накладывать" на ближайшую к нему параллель, поэтому приводим только те положения вектора, где он точно совпадает с параллелью. Промежуточные положения вектора также совпадают с промежуточными параллелями. Как видно на рис.5, никаким образом мы не сможем изменить направление вектора в его конечной точке. Меняется лишь его длина по мере продвижения в соответствии с кривизной пространства, но для обитателей этого 2-мерного пространства длина вектора неизменна и в каждой точке равна 10 единицам. На рисунке красной траектории перемещения вектора соответствуют его синие положения. Зелёной траектории – чёрные вектора. В точке А исходный вектор показан утолщённым, а в точке B – оба пришедших туда вектора немного смещены друг относительно друга, чтобы показать их оба.

Теперь рассмотрим перемещение такого же вектора искривлённом 3-мерном пространстве. Характер искривления не принципиален, поэтому возьмём его в форме гравитационной воронки нейтронной звезды.

Рис.6. Перенос вектора в искривлённом 3-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

Как и в предыдущем случае искривлённого 2-мерного пространства мы никакими ухищрениями не сможем в конечной точке перемещения векторам придать различающиеся направления. В этой конечной точке они могут иметь только одно-единственное допустимое условиями задачи направление – это направление параллели в этой точке. Поскольку вектор изначально имел направление, совпадающее с направлением параллели в представленной группе, то и в конченой точке он может иметь только точно такое же направление.

В заключение рассмотрим ещё одну аргументацию, аналитическую, которая приводит к ожидаемому расхождению направлений просто как следствие вычислений.

"Весьма существенно, что в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. В частности, отсюда следует, что если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой.

Для того чтобы уяснить это, рассмотрим двухмерное искривленное пространство, т. е. какую-нибудь кривую поверхность. На рис.19 изображен фрагмент такой поверхности, ограниченный тремя геодезическими линиями. Подвергнем вектор 1 параллельному переносу вдоль контура, образованного этими линиями. При передвижении вдоль линии АВ вектор 1, сохраняя все время одинаковый угол с этой линией, перейдет в вектор 2. При передвижении вдоль ВС он таким же образом перейдет в 3. Наконец, при движении из С в А вдоль кривой СА, сохраняя постоянный угол с этой кривой, рассматриваемый вектор перейдет в 1', не совпадающий с вектором 1.