Диаграммы Пенроуза – что это такое? | страница 15

Процесс такого сжатия шкал или процесс конформного преобразования представляет собой, по сути, построения новой шкалы для координат расстояния r и времени t как функции от этих переменных в некоторой исходной системе координат u-v (1).

Иначе говоря, мы строим в системе координат u-v семейство линий, которые образуют новую координатную сетку. При этом из уравнений видно, что новая сетка оказывается заключенной в квадрат со стороной π, поскольку при изменении величин r и t в диапазоне от минус до плюс бесконечности, функции u и v изменяются в диапазоне от минус π/2 до плюс π/2.

Для нанесения координатной сетки сначала для каждого значения t = ‑n, …, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, …, n строится сплошная линия r = ‑m…m. При этом на диаграмму наносятся дуговые линии, вытянутые от i^>- к i^>+. Затем для каждого значения r = ‑m, …, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, …, m строится сплошная линия t = ‑n…n. При этом на диаграмму наносятся дуговые линии, вытянутые между точками i^>0.

При таком построении сетка одной из осей будет иметь вид рис.7a. Как видно на рисунке, сетка получилась с наклоном. Для наглядности на сетке показаны действительные оси координат u-v, в которых она построена, и конформные оси t-r, которые и предполагается использовать в дальнейшем. Для приведения масштабной сетки к обычному виду, когда её нулевая ось расположена либо вертикально, либо горизонтально, полученную сетку нужно просто повернуть на 45 градусов против часовой стрелки. В этом случае мы получим сетку оси времени t, как показано на рис.7b. После этого мы можем нарисовать по указанным уравнениям конформного преобразования вторую масштабную сетку и повернуть её теперь на 45 градусов по часовой стрелке. В результате мы получим сетку оси r, как показано на рис.7с. Объединив эти обе сетки, мы получим полную сетку диаграммы, как показано на рис.7d. Теперь мы можем нанести на рисунок все необходимые обозначения, в результате чего будет получена полная "пустая" диаграмма Пенроуза, как показано на рис.7e. Слово "пустая" означает, что на диаграмме нет никаких событий, мировых линий.

Рис.7. Последовательность создания "пустой" диаграммы Пенроуза

Собственно алгоритм построения сеток достаточно прост. Для удобства поворот сеток производится сразу же, в момент их построения. Поскольку алгоритм прост, приведем его в неформальном виде, в виде словесного описания:

Цикл 1: Для каждого –М < t < +M c шагом T

Цикл 2: Для каждого –М < r < +M c шагом R