Диаграммы Пенроуза – что это такое? | страница 13

Рис.6. Преобразование диаграммы в 2M-диаграмму

Очевидно, что после завершающего перехода координатной линии r = 2m на позицию левого горизонта событий, в центре диаграммы окажется координатная линия со значением +∞. Также очевидно, что никакие геодезические на конечном удалении от горизонта событий в этом случае изобразить на такой диаграмме будет уже невозможно: все они сожмутся в бесконечно тонкую линию вблизи левого горизонта событий. С другой стороны, сдвигаемая влево времениподобная координатная линия r = 2m никогда не превратится в светоподобную линию горизонта событий, в пределе оставаясь от неё на планковском удалении. В этом случае очевидно, что любое изображённое на диаграмме событие или движение не будет иметь никакого отношения к горизонту событий Чёрной дыры. Движение даже к его отдалённой окрестности, например, до r = 1000m будет длиться вечно, только внешне напоминая падение на горизонт r = 2m. Визуально, ввиду мелкой детализации, будет казаться, что эта линия является корректным горизонтом событий (рис.6f), но при увеличении масштаба (как под микроскопом) фактически не будет никакого различия для значений этих промежуточных "горизонтов". В равной степени мы можем поставить возле них вместо r = 2m как r = 2000m, так и r = –∞, характер диаграммы будет в точности таким же. В целом эта диаграмма становится тождественной обычной диаграмме с двумя пространственноподобными бесконечностями i^>0.

Ещё одной серьёзной проблемой является то, что из-за различной дискретности сетки слева и справа диаграммы, использовать постоянные значения интервалов на всей шкале невозможно. Конечность интервала слева исключает такую возможность. То есть, мы в принципе можем установить шаг делений справа Δr = 1 = const, либо иной другой постоянный шаг. Но на левой стороне диаграммы никакой постоянный шаг невозможен. Получается, что сетка диаграммы должна быть размечена двумя разными шкалами, что, очевидно, весьма неудобно.

Однако есть вариант компромиссной шкалы, единой на всём диапазоне расстояний. Это шкала r, размеченная степенным рядом. Каждому делению шкалы присваивается значение 2+2^>n, где n – номер линии r имеет значения от ‑∞ до +∞. На такой диаграмме для наглядности центру может быть приведена в соответствие, например, координата r = 4m, соответствующая номеру n = 1.

В литературе на такие 2M-диаграммы координатная сетка наносится крайне редко, а если и наносится, то условно, без каких-либо обозначений, шкал. При этом светоподобные геодезические и световые конусы используются широко. Поэтому попытка аналитически построить соответствующую координатную сетку вполне оправданна. Выбор уравнения степенного ряда для сетки r = const позволил вполне приемлемо такую сетку построить.