Таков смысл парадокса, названного именем Б. Рассела. Имеется его популярное изложение — «парадокс парикмахера». Он приписывается также Б. Расселу.
В некой деревне, где жил единственный парикмахермужчина, был издан указ: «Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами». Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.
Но логический парадокс, выявленный Б. Расселом, был свидетельством противоречий в содержании математической теории. Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное.
Это с одной стороны. А с другой, интуитивно очевидно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества.
Выступление Б. Рассела имело широкий резонанс.
Конечно, парадоксы были отмечены и до него. О математическом парадоксе знал, в частности, и Г. Кантор.
Знал, но надеялся устранить. Однако Б. Рассел обнажил самую суть противоречий, показав, что здесь не обойтись «текущим ремонтом» и нужны фундаментальные перемены. Парадоксы посыпались как из рога изобилия. Вспомнили и о тех, что были выявлены еще древними (в частности, «парадокс лжеца»), изобретали новые: "никогда не говори «никогда», «каждое правило имеет исключение», «всякое обобщение неверно». Это популярные. Шли поиски и с серьезными намерениями.
В логике, лингвистике, математике — повсюду находили не замечаемые ранее противоречия
Всколыхнув математику, парадоксы оказали плодотворное влияние на ее развитие. Возникло новое обоснование этой древней науки. Оно опиралось "же не на логические, а на интуитивные начала и породило новое направление в математике — конструктивную ветвь.
Она принесла свежие нетрадиционные методы построения математических объектов и соответственно — нетрадиционные пути развития математической теории.
Одновременно получили импульс и классические разделы: был уточнен язык, введены более строгие понятия, шлифовались доказательства. Как писал Б. Рассел, благодаря выявлению и преодолению парадоксов, математика стала более логической. Впрочем, обогатилась и логика, которая стала более математическом.
