Нидерландский математик считал справедливыми только конструктивные доказательства. Доказать, что отрицание теоремы противоречиво, — неравносильно доказательству, что теорема истинна, поскольку, прежде чем доказать последнее, нужно открыто сконструировать ее содержание. Для математиков-интуиционистов неконструктивные доказательства существования (доведением до абсурда) свидетельствуют о том, что в мире есть скрытое сокровище, но не указывают его местонахождение, поэтому такие доказательства имеют исключительно эвристическую ценность. Для существования математического объекта недостаточно, чтобы он не порождал никакого противоречия; нужно ввести эффективную процедуру его построения.
Парадоксы, открытые в рамках теории множеств, по мнению Брауэра, явно представляли собой опасность для чисто экзистенциальной математики. Не зря Кронекер всегда ожесточенно спорил с Кантором о том, что если не построить множества, о которых тот говорил (а он не мог их построить, поскольку подавляющее большинство их было бесконечным), теоремы теории множеств растворятся в воздухе. Нужно было вернуться на путь греческой математики, которая была конструктивной, а значит интуиционистской, при этом бесконечность присутствовала только в потенции, но никогда не была актуальной. Гаусс уже высказывал подобное мнение: «Я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершенной, в математике это никак не допустимо.
Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела». Для интуиционистов все трудности оснований математики исходили из использования бесконечности как чего-то законченного и идеального. Это нарушение происходит при попытке определить реальное число, такое, например, как число π = 3, 141592... Это многоточие после первых знаков после запятой создает у нас ложное ощущение, будто перед нами закрытый объект.
В итоге речь зашла о восстановлении классической математики, насколько это возможно, без обращения к принципу исключенного третьего и к доведению до абсурда. В 1918 году Брауэр начал реализацию своего плана, который он назвал «вторым актом интуиционизма» («первый» акт предполагался как интуитивное основание математики), в статье «Основание теории множеств, независимо от принципа исключенного третьего». Держась за интуиционизм Канта, Брауэр основывался на временной перечислимости и признавал возможность только счетных множеств, считая несчетные множества противоречащими интуиции. Как говорил Кронекер, «Бог создал натуральные числа, все остальное создано человеком». С несчетными множествами работать нельзя, чтобы не столкнуться с серьезными парадоксами. В интуиционистской теории множеств сами множества получают имя видов, и единственные позволенные собрания чисел — конечные собрания: {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}... Ни в коем случае не разрешено внезапно образовывать ансамбли из всех натуральных чисел {0, 1, 2,...}. Следовательно, алефы Кантора исчезают в тумане.
