Началом размышлений вокруг предмета математики исторически считается последняя четверть XIX века. Однако любопытство в отношении природы математического знания не ново, ему 2000 лет. Первый кризис оснований произошел в Древней Греции, когда разрушилась пифагорова арифметика. Пифагорейцы полагали, что все числа рациональны, но вскоре выяснилось, что существуют также иррациональные числа (как V2). Открытие этих неизмеримых чисел вызвало раскол в их математике. Рациональные числа не полностью описывали действительность. Континуум действительных чисел (например, прямая) образован не дискретным набором индивидуальных атомов. Работы Евдокса (IV век до н.э.) по обоснованиям примирили сознание с иррациональной бесконечностью и заложили фундамент, на котором была воздвигнута евклидова геометрия.
Работы, связанные со вторым кризисом оснований, уже в XX веке разъясняли, в чем заключаются метод, строгость и истина новой математики — скорее аксиоматичной, чем интуитивной, скорее экзистенциальной, чем конструктивной. Нужно понимать, что не избежал Гильберт и подводных камней. В их числе выделим ряд антагонических понятий математики, которые возникли не из ничего, а уходят корнями в историю развития самой точной из наук. Распространение математического анализа с начала XIX века, наряду с зачатками теории множеств и математической логики, — это путеводная нить дисциплины, которая стала называться философией, или основаниями математики. Но вернемся на некоторое время к истокам.
БОГ — МАТЕМАТИК?
Платонизм — изначальная философия математики. Приверженцами этой позиции среди прочих были Платон, Кантор, Гёдель... Любопытно, что первым платоником был не Платон, а Пифагор, который слепо верил, будто все есть число и математические объекты реально существуют. Как числа, так и треугольники или окружности существуют сами по себе, независимо от их толкования и нашего представления о них. Неоплатоники во главе с Блаженным Августином (IV век) утверждали, что бесконечное количество чисел в действительности существует в божественном разуме. И кому хватило бы глупости утверждать, будто Бог прекращает счет на каком-то числе, каким бы большим оно ни было?
Перенесение термина платонизм из области философии в математику произошло на лекции, которую в 1934 году читал Пауль Бернайс, первый помощник Гильберта. Бернайс хотел дать возбуждающее интерес название способу восприятия современной математики, в которой математические объекты не строятся, а понимаются как заданные. Для Кантора, например, реальность чисел была намного ощутимее реальности чувственного мира, поскольку числа существуют в виде вечных идей божественного интеллекта. Гёдель пошел еще дальше и рассматривал математические множества как объекты настолько же реальные, как и физические тела. Математики-платоники, имя которым легион, не изобретают математические теоремы, а открывают их.
