, то есть гильбертовым пространством по определению. Волновые функции волновой механики всегда относились к интегрируемому квадрату, то есть принадлежали функциональному пространству L
>r И для этих двух пространств действовала теорема Фишера — Риса, хорошо известная математикам с 1907 года и гласящая, что оба эти пространства изоморфны. Так фон Нейман решил головоломку математической эквивалентности квантовых механик, показав, что механика Гейзенберга (сосредоточенная на матрицах и суммах) и механика Шрёдингера (сосредоточенная на функциях и интегралах) математически эквивалентны, поскольку являются вычислениями в двух изоморфных, идентичных гильбертовых пространствах.
До этого времени под гильбертовым пространством понималось одно из двух конкретных пространств £>2 или L>r Фон Нейман первым задумал абстрактное гильбертово пространство в современном его понимании. Избегая конкретных представлений, он работал с понятиями, полученными из аксиом, и пришел к распространению спектральной теории Гильберта в соответствии с квантовыми потребностями.
Гильберт еще в начале века установил основы пространства бесконечной размерности. Но волей судеб такая абстрактная математическая теория, задуманная с опережением в 20 лет, подошла к замку квантовой механики. С тех пор математическая структура квантовой физики сопряжена с гильбертовым пространством. Описание состояния квантовой системы делается через вектор этого пространства. И физические величины изучаются с помощью операторов, определенных в гильбертовом пространстве. В результате появления квантовой механики теория гильбертовых пространств оказалась аксиоматически обоснованной, чему Гильберт был свидетелем.
С развитием математической логики и теории множеств удалось приблизиться к понятию, которое до той поры казалось бесполезным, — бесконечность. Но при этом углубилась трещина, проходящая по основанию математики. Наличие многочисленных парадоксов показало, что здание математики построено на песке. Тогда математики включились в гонку переоснования своей науки. Некоторые ученые встали на сторону логицизма Фреге и Рассела, другие разделились на две непримиримые группы: лидером интуиционистов стал Брауэр, а формалистов возглавил Гильберт.
В 1920 году Гильберт направился в беспокойные воды оснований математики и до конца карьеры развивал исключительно эту область. В некоторой степени ученый с удвоенными усилиями возобновил свое исследование оснований математики, хотя на этот раз он был немного более амбициозен, чем 20 лет назад. Он действовал не в одиночку. Его верными оруженосцами стали Пауль Бернайс (1888-1977), один из его ассистентов в Гёттингене, и Вильгельм Аккерман (1896-1962), преподаватель средней школы, его бывший ученик (Гильберт отказался дать ему должность в университете, узнав, что тот намеревается обзавестись семьей, поскольку, по его мнению, это отвлекло бы его от исследовательской деятельности). Важной составляющей этой работы в долгий межвоенный период стали оживленные дискуссии немецкого математика и его ближайших коллег с виднейшими европейскими математиками, которые придерживались противоположных взглядов.
