ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
В матричной механике речь шла о поиске матрицы S, чтобы матрица W = S>-1HS была диагональной. Если выделить HS в этом уравнении, получается HS = SW. И если, применяя правило умножения матриц, записать то, что означает это последнее уравнение для элементов каждой матрицы, можно получить систему бесконечных линейных уравнений (напоминает получившуюся при преобразовании интегрального уравнения):
>∞
∑h>pqS>qn = E>nS>pn. [1]
>q=1
С другой стороны, в волновой механике пытались решить волновое уравнение Шрёдингера Ηψ = Εψ, определяя собственные значения, являющиеся решением. Если в уравнение ввести собственную функцию ψ>n, назначенную собственному значению Е>n , получается:
Ηψ>n = Ε>nψ>n. [2]
Как Гильберт, так и Дирак, переформулировав обе проблемы в таком виде, перешли к их сравнению и заметили, что [1] и [2] представляют собой схожую структуру: Гамильтониан x ΧΥΖ = Энергия x ΧΥΖ. Следовательно, вопрос, которым они задались, звучал так: какие условия следует допустить, чтобы приравнять член к члену уравнения [1] матричной механики к уравнению [2] волновой механики? Так как «интегрирование» в царстве непрерывного — это аналог «сложения» в царстве дискретного (символ ∫ происходит от последовательной деформации прописной S), они решили: то, что должно заменить (при переходе от дискретного к непрерывному) первый член в [1], будет выглядеть как ∫h(х,у)ψ>n(у)d(у). Значит, объединение между обеими квантовыми механиками было бы достигнуто, если бы последнее выражение совпадало с первым членом в [2] в виде:
Ηψ>n(x) =∫h(x,у)ψ>n(у)dy,
то есть если бы любой оператор Гамильтона мог быть записан как интегральный оператор.
Но это было невозможно даже для такого простого оператора, как тождество (определяемое как Ηψ = ψ для любой волновой функции). Дирак не спасовал перед трудностями и, чтобы преодолеть их, прибегнул к функции δ. Эта своеобразная функция определена δ(z)=0 для любого z≠0[3] и, как ни парадоксально, ∫δ(z)dz= 1 [4]. Как представить себе функцию, которая равна 0 во всех точках, кроме одной, и интегрирует 1?
Итак, приняв эту функцию и рассматривая h(x,y)=δ(x-y) как ядро вышеприведенного интегрального уравнения, можно выразить тождество, например, как интегральный оператор, просто применив магические свойства δ:
> [3] >[4]
Ηψ(x)=∫h(х,у)ψ(у)dy=∫δ(х-у)ψ(у)dy= ψ(x)∫δ(x-y)dy=ψ(x)·1=ψ(x).
С помощью подобных вычислений можно доказать, что любой оператор может быть представлен как интегральный оператор, так что обе квантовые механики оказываются принудительно унифицированными.
